Cônicas

As cônicas são figuras geométricas formadas pela interseção de um plano com um cone duplo de revolução. São elas: elipses, parábolas e hipérboles. Um sólido de revolução é obtido a partir da rotação de uma figura geométrica sobre um eixo de rotação. O cone de revolução é resultado do giro de um triângulo retângulo, tendo um de seus catetos como eixo, como mostra a figura a seguir:
 

Após um giro de 360°, o “rastro” deixado por esse triângulo terá a forma de cone, exatamente como mostra a figura a seguir:

Para encontrar as cônicas, entretanto, precisamos de cone duplo de revolução, que é obtido pelo giro de uma reta sobre um círculo. Na imagem a seguir, o eixo de revolução dessa reta é o segmento AB.

A figura obtida nesse processo é o cone duplo de revolução:

Cônicas: elipse

Uma elipse é uma figura geométrica plana definida da seguinte maneira: dados dois pontos F₁ e F₂, chamados de focos, que pertencem a um único plano β, e o comprimento do segmento F₁F₂ = 2c. O conjunto de todos os pontos P, cuja soma da distância entre P e F₁ com a distância entre P e F₂ é igual a uma constante 2^a, é chamado de elipse. (2a < 2c).

Em outras palavras, se P pertence a uma elipse, então d_PF1 + d_PF2 = 2a.

A imagem a seguir mostra um exemplo de elipse:

As elipses possuem duas equações reduzidas. A primeira, para o caso em que os pontos F₁ e F₂ estão sobre o eixo x de um plano cartesiano, é:

x² + y² = 1
a² b²       

Na segunda, para os casos em que os pontos F₁ e F₂ estão sobre o eixo y de um plano cartesiano, temos:

y² + x² = 1
a² b²       

Cônicas: hipérbole

Uma hipérbole é um conjunto de pontos que pode ser definido da seguinte maneira: dados dois pontos F₁ e F₂ (chamados de focos) do plano β, sendo 2c a distância entre esses pontos, a hipérbole é o conjunto de pontos P do plano β no qual a diferença entre PF₁ e PF₂ é sempre a igual a uma constante 2a. Essa diferença, porém, somente é avaliada em módulo.

Dessa forma, P é um ponto da hipérbole se d_PF1 – d_PF2 = 2a.

Veja a seguir um exemplo de hipérbole:

A hipérbole também possui dois tipos de equação reduzida. Para os casos em que F₁ e F₂ estão sobre o eixo x, temos:

x² – y² = 1
a² b²        

Nos casos em que F₁ e F₂ estão sobre o eixo y, podemos usar a seguinte equação:

y² – x² = 1
a² b²       

Cônicas: parábola

Dada uma reta r e um ponto F que não pertence a essa reta, mas ambos pertencentes ao mesmo plano, e sendo k a distância entre esse ponto e essa reta, uma parábola é um conjunto de pontos no qual a distância até F é igual à distância até r.

Portanto, P pertence à parábola se, e somente se, d(P, F) = d(P, r).

A parábola também possui equações reduzidas. Se a parábola apresenta foco F no eixo x, é usada a seguinte equação:

y² = 2kx

No caso de a parábola possuir foco F no eixo y, temos:

x² = 2ky