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Parábolas

Parábolas são conjuntos de pontos. Dados o ponto P e a reta r, a parábola é o conjunto dos pontos cuja distância até P é igual à distância até a reta r.
As parábolas são figuras cuja distância de um de seus pontos até o foco é igual à distância desse mesmo ponto até a diretriz
As parábolas são figuras cuja distância de um de seus pontos até o foco é igual à distância desse mesmo ponto até a diretriz

Uma parábola é uma figura geométrica plana formada pelo conjunto de todos os pontos, cuja distância até um ponto F é igual à distância até uma reta r. Esse ponto é chamado foco da parábola e não pode ser um dos pontos da reta r. Observe um exemplo de parábola na figura a seguir:

O uso mais conhecido para as parábolas está ligado às funções do segundo grau. A representação geométrica dessas funções é dada por parábolas cuja reta r é paralela ao eixo x do plano cartesiano.

Elementos de uma parábola

Os elementos da parábola são figuras geométricas mais simples que ela e que fazem parte de sua definição e estão envolvidos em sua construção. São eles:

Foco

O ponto F da definição da parábola e da imagem anterior é chamado de foco e determina essa figura.

Diretriz

A reta r, também presente na definição e na imagem anterior, é chamada de diretriz da parábola. Essa reta é usada junto ao foco para a definição dessa figura. A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre esse mesmo ponto da parábola e o seu foco.

Parâmetro

É a distância entre o foco e a diretriz. Esse cálculo pode ser feito por meio da distância entre ponto e reta.

Vértice

O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz. Existe uma propriedade que afirma o seguinte:

VF = p
        2

Em que VF é o segmento de reta que tem início no vértice da parábola e tem fim em seu foco, e p é o parâmetro da parábola. Em outras palavras, o vértice de uma parábola fica no meio do caminho entre seu foco e a diretriz.

Eixo de simetria

É a reta perpendicular à diretriz que passa pelo vértice da parábola. Essa reta também contém o foco da parábola. Essa reta é assim chamada porque divide a parábola em duas partes simétricas.

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Na parábola acima, F é o foco, V é o vértice e o restante dos elementos está expresso na própria figura.

Equações reduzidas da parábola

A primeira equação diz respeito à parábola cujo eixo de simetria é o próprio eixo x. Para isso, considere uma parábola na qual o vértice é a origem de um plano cartesiano e o eixo de simetria é o eixo x, como a parábola da imagem a seguir:

Considere o ponto da parábola P de coordenadas (x, y). As coordenadas do ponto F são (p/2, 0), pois p/2 é o comprimento do segmento VF. Veja que as coordenadas do ponto A são (– p/2, y), pois o ponto A está à mesma altura do ponto P e sua distância até a origem é também p/2, mas com sinal invertido.

Nesses termos, sabendo que a distância de A até P é igual à distância de P até F, teremos:

Essa equação é conhecida como equação reduzida da parábola. Toda parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y de um plano cartesiano pode ter sua equação reduzida a essa forma.

Segunda equação da parábola

Fazendo uma construção análoga à anterior, mas fazendo com que o eixo de simetria da parábola seja paralelo ao eixo y, é possível encontrar, de forma também semelhante, a seguinte equação:

x2 = 2py

Essa é a segunda equação da parábola, também chamada de equação reduzida. Sempre que uma parábola possuir essas hipóteses, sua equação pode ser reduzida a essa equação.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
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