Máximo divisor comum (MDC)

Máximo divisor comum, representado por MDC, de dois ou mais números inteiros positivos é o maior número que está na lista de divisores de cada um desses números simultaneamente. Os divisores de um número inteiro são os números que, quando divididos por esse número inteiro, deixam resto zero, ou seja, trata-se de uma divisão exata.

Com base nessa ideia, podemos dizer que essa lista de divisores nunca passa do número que estamos analisando. Para facilitar a determinação do MDC, vamos utilizar um famoso teorema da matemática conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética. Esse teorema permite-nos realizar a decomposição de um número em fatores primos ao afirmar que todo número composto pode ser escrito como produto de números primos.

O máximo divisor comum é o maior divisor entre dois números.

Divisor comum

Imagine dois ou mais números inteiros positivos, agora, vamos listar os divisores desses números. Quando realizamos essa listagem, percebemos a existência de divisores em comum, isto é: divisores que aparecem ao mesmo tempo em mais de uma lista. Ficou confuso? Veja o exemplo a seguir.

Exemplo

Os divisores dos números 10, 15 e 20:

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Pelo exemplo, entre os números 10 e 15 temos o número 5 como maior número que aparece na lista de divisores, assim: MDC (10, 15) = 5. E a mesma ideia vale para os números 10 e 20, que possuem o 10 como maior número comum na lista de divisores, logo: MDC (10, 20) = 10. Assim é válido para os números 15 e 20, que possuem como maior divisor comum o número 5, ou seja: MDC (15 e 20) = 5.

Quando dois ou mais números possuem como maior divisor comum o número 1, dizemos que eles são primos entre si. Veja o exemplo.

Exemplo

Os divisores dos números 4, 13, 15:

D (4) = {1, 2, 4}

D (13) = {1, 13}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

Observe que, entre os números 4, 13 e 15, o maior número comum é o 1. Então 4, 13 e 15 são primos entre si.

Como se calcula o MDC?

Uma das maneiras de calcular o MDC entre dois ou mais números inteiros é realizando a listagem dos divisores de cada número envolvido e verificando qual é o maior deles que aparece igualmente nas listas em questão. No entanto, quando um desses números é muito grande, realizar essa listagem torna-se uma tarefa difícil e cansativa.

A fim de facilitar o cálculo para encontrar o MDC, utilizaremos a decomposição em fatores primos da seguinte maneira:

Ao fazer a decomposição em fatores primos, o que consiste em realizar divisões por números primos, devemos marcar os primos que dividem todos os números em questão e, ao final, realizar a multiplicação entre eles. Confira os exemplos.

Exemplos

1. Neste exemplo sabemos que o resultado é 10. Chegaremos a esse resultado utilizando o método da fatoração em números primos.

Perceba que só marcamos em vermelho os primos que dividem os dois números. Assim, o MDC (20,10) = 5 · 2 = 10.

2. Determine o MDC (20, 15, 10)

Como o único número que divide os três números ao mesmo tempo é o 5, então MDC (20, 15, 10) = 5.

Propriedades do MDC

Veja a seguir as propriedades do máximo divisor comum.

Propriedade 1

O produto do máximo divisor comum com o mínimo múltiplo comum de dois números a e b é igual ao módulo do produto desses números.

MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|

Exemplo

Sabemos que o MDC (20,10) = 10 e o MMC (20,10) = 20. Veja:

MDC (20,10) · MMC (20,10) = | 20 · 10 |

Propriedade 2

Os divisores comuns de dois ou mais números são os divisores do mdc desses números.

Exercício resolvido

Questão 1 - (ESPM-SP) As moedas de 10 e 25 centavos de real têm, praticamente, a mesma espessura. 162 moedas de 10 centavos e 90 moedas de 25 centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. O menor número possível de pilhas é:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

Solução

Observe que, para termos o menor número de pilhas, devemos ter então o maior número de moedas em cada uma dessas pilhas. Assim, primeiramente, calcularemos o MDC entre 162 e 90.

Assim, o MDC (162, 90) = 2 · 3 · 3 = 18, logo, cada pilha deverá ter 18 moedas. Portanto temos: 162:18 = 9 pilhas de moedas de 10 centavos e 90:18 = 5 pilhas de moedas de 25 centavos, e, assim, um total de 14 pilhas de moedas.

Alternativa c

Publicado por Robson Luiz