Multiplicação de polinômios

Para realizar a multiplicação de polinômios, é necessário fazer uso da propriedade distributiva e entender como é feita a multiplicação de monômios.

Para multiplicar dois polinômios, utilizamos a propriedade distributiva.

A multiplicação de polinômios é realizada utilizando-se a propriedade distributiva. Existem três casos diferentes de multiplicação de polinômio:

multiplicação de um polinômio por um número natural;
multiplicação de um polinômio por um monômio;
multiplicação de um polinômio por outro polinômio.

Para compreender a multiplicação entre polinômios, é fundamental aprender a multiplicação entre monômios. Na multiplicação de monômios, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes de variáveis iguais.

Como fazer a multiplicação de polinômios?

Para fazer a multiplicação de polinômios, primeiro analisamos em qual dos casos essa multiplicação se encontra, pois existem três casas diferentes de multiplicação de polinômios, são elas: a multiplicação de um polinômio por um número natural, a multiplicação de um polinômio por um monômio, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio.

Nos três casos, utilizamos a propriedade distributiva para realizar a multiplicação, realizando na prática a multiplicação entre os monômios envolvidos na sua operação. Veja, a seguir, como calcular cada um dos casos de multiplicação entre polinômios.

→ Multiplicação entre um polinômio e um número real

Quando queremos multiplicar um polinômio por um número real, é necessário calcular a multiplicação desse número real por cada um dos termos desse polinômio, ou seja, utilizaremos a propriedade distributiva multiplicando um número real por cada um dos meus monômios. Nesse caso, basta multiplicar o coeficiente do monômio pelo número real desejado.

Exemplo

Calcule a multiplicação entre 3 e o polinômio .

Resolução

Primeiro escreveremos essa multiplicação:

Agora aplicaremos a propriedade distributiva multiplicando por 3 cada um dos monômios.

Então encontramos como resultado da multiplicação o polinômio:

→ Multiplicação de um polinômio por um monômio

A multiplicação de um polinômio por um monômio também é feita pelo uso da propriedade distributiva para encontrar a solução: multiplicaremos o monômio por cada um dos termos do polinômio. Nesse caso, é importante prestar atenção na multiplicação entre as partes literais dos termos do polinômio, com o monômio que está multiplicando o polinômio.

Exemplo

Calcule a multiplicação entre o monômio 2ab e o polinômio .

Resolução

Para calcular a multiplicação, primeiro representaremos essa operação:

Agora, aplicando a propriedade distributiva, multiplicaremos o monômio por cada um dos termos do polinômio.

Começando por:

Importante: Vale ressaltar que, na multiplicação entre dois monômios, quando a mesma variável aparece nos dois termos, somamos os seus expoentes, como foi feito com a variável a. Como ela aparecia nos dois termos, ela ficará elevada a 2; quando a variável aparece em só um dos termos, apenas a conservamos na parte literal da resposta.

Calculando o restante das multiplicações, temos que:

Então encontramos como solução o polinômio:

→ Multiplicação de polinômio por polinômio

A multiplicação de polinômio por polinômio também utiliza a propriedade distributiva, assim, multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada um dos termos do segundo polinômio.

Exemplo

Calcule a multiplicação:

Resolução

Para calcular a multiplicação entre esses dois polinômios, multiplicaremos 2x por . Como foi feito na multiplicação de um monômio por um polinômio, também multiplicaremos 4a por .

Então temos que:

Veja também: Fatoração de polinômios — como fazer?

Exercícios resolvidos sobre multiplicação de polinômios

Questão 1

(Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:

A) 2xy

B) 15 − 3x

C) 15 − 5y

D) -5y − 3x

E) 5y + 3x − xy

Resolução:

Alternativa E

Primeiro calcularemos a área inicial do forro, que é:

Sabemos que, após perder a área em destaque, a nova área do forro é dada por:

Calculando a multiplicação, temos que:

Sendo assim, a área perdida de forro é a diferença entre a área inicial e a nova área: