Fatoração de polinômio

A fatoração de polinômios envolve uma série de métodos distintos para reescrever polinômios como o produto de dois ou mais polinômios. Realizamos a fatoração de polinômios quando é necessário simplificar a expressão. Existem diferentes casos de fatoração de polinômios, sendo eles: fator comum em evidência, agrupamento, trinômio quadrado perfeito, diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e diferença de dois cubos. Para cada caso, existem métodos específicos para realizar a fatoração do polinômio.

Leia também: Como fazer fatoração de expressões algébricas

Resumo sobre fatoração de polinômios

• Fatorar um polinômio é representá-lo como a multiplicação entre polinômios.

• Utilizamos a fatoração de polinômios para simplificar expressões algébricas.

• Os casos de fatoração são:

  • fator comum em evidência;

  • agrupamento;

  • trinômio quadrado perfeito;

  • diferença entre dois quadrados;

  • soma de dois cubos;

  • diferença de dois cubos.

Como se faz a fatoração de polinômio?

Para compreender como é feita a fatoração de polinômio, é importante saber que cada uma das formas de fatoração é realizada de uma maneira específica. Portanto, é fundamental identificar o caso de fatoração, a fim de utilizar o método corretamente. Veja como é feita a fatoração de polinômio em cada caso a seguir.

• Fator comum em evidência

A fatoração colocando o fator comum em evidência é utilizada quando é possível encontrar um fator que seja comum a todos os termos do polinômio. Quando isso ocorre, colocamos esse fator em evidência e escrevemos dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada um dos termos por esse fator comum.

Exemplo:

12a²b + 8ab² – 16a³

Resolução:

Perceba que 12, 8 e 16 são todos múltiplos de 4, logo, 4 é fator comum a todos os termos. Além disso, note que, na parte literal, a variável a aparece em todos os termos, e o seu menor expoente é 1. Assim, o fator comum é 4a. Dividindo cada um dos termos pelo fator comum:

12a²b : 4a = 3ab

8ab² : 4a = 2b²

– 16a³ : 4a = – 4a²

Portanto, a forma fatorada desse polinômio é:

4a (3ab + 2ab² – 4a²)

• Fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento é utilizada quando é possível encontrar um fator comum entre os termos de dois a dois. Nem sempre existe um fator comum a todos os termos, mas pode ser que exista um fator comum a cada dois termos. Nesse caso, podemos fatorar por agrupamento.

Exemplo:

2x + 4y + ax + 2ay

Resolução:

Podemos agrupar os termos que possuem x e os termos que possuem 2y:

2x + ax + 4y + 2ay

x (2 + a) + 2y (2 + a)

Note que dentro dos parênteses há o mesmo fator. Assim, podemos colocar (2 + a) em evidência:

(2 + a) (x + 2y)

• Trinômio quadrado perfeito

No estudo dos produtos notáveis, sabe-se que o quadrado da soma, ou o quadrado da diferença, gera como resultado um trinômio quadrado perfeito. Portanto, fatorar um trinômio quadrado perfeito é transformar esse polinômio em um desses produtos notáveis.

Sabemos que:

 \(\left(x\pm y\right)^2=x^2\pm2xy+y^2\)

Então, reescreveremos polinômios do tipo \(x^2\pm2xy+y^2\) na forma \(\left(x\pm y\right)^2\).

Exemplo 1:

Fatore o seguinte trinômio:

\(a^2+8a+16\)

De início, extrairemos a raiz quadrada do primeiro e terceiro termos.

\(\sqrt{a^2}=a\)

\(\sqrt{16}=4\)

É importante verificar se esse trinômio é um quadrado perfeito de fato. Para isso, basta checar se o dobro do primeiro e do segundo termo encontrado é de fato igual ao termo central.

\(2\ \cdot a\ \cdot8\ =\ 8a\ \)

\(8a\ =\ 8a\ \)

Note que o termo central é positivo, +8a, então a fatoração desse trinômio será o quadrado de uma soma.

Por fim, a forma fatorada desse polinômio é:

\(\left(a+4\right)^2\)

Exemplo 2:

\(4x^2-4x+1\)

Resolução:

\(\sqrt{4x^2}=2x\)

\(\sqrt1=1\)

Note também que:

\(2\ \cdot2x\ \cdot1\ =\ 4x\ \)

O sinal central é negativo, logo, este é o quadrado da diferença:

\(\left(2x-1\right)^2\)

• Diferença de dois quadrados

A diferença de dois quadrados é outro caso de fatoração derivado de um produto notável. Quando calculamos o produto da soma pela diferença, encontramos a diferença entre dois quadrados. Desse modo, para fatorar a diferença entre dois quadrados, basta fazer o processo contrário do produto notável, ou seja, reescrevê-la como o produto da soma pela diferença.

Sabemos que:

 \(\left(x+y\right)\left(x-y\right)=x^2-y^2\)

Então, reescreveremos um polinômio do tipo \(x^2-y^2\)  como \(\left(x+y\right)\left(x-y\right)\).

Exemplo:

Fatore o seguinte polinômio: 16 – a²

Podemos reescrevê-lo como:

16 – a² = 4² – a²

Trata-se de uma diferença entre dois quadrados, que pode ser fatorada como:

(4 + a) (4 – a)

• Soma de dois cubos

Dada a soma de x³ e y³, podemos fatorá-la como:

x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)

Exemplo:

Fatore o polinômio 27 + 8a³.

Sabemos que 27 = 3³ e que 8a³ = (2a)³. Assim, na forma fatorada, temos que:

\(27+8a^3=\left(3+2a\right)32–3⋅2a+2a2\)

\(27+8a^3=\left(3+2a\right)\left(9-6a+4a^2\right)\)

• Diferença de dois cubos

A diferença entre dois cubos, x³ e y³, pode ser fatorada por:

x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)

Exemplo:

Fatore o polinômio  x³ – 125

Resolução:

Sabemos que 125 = 5³. Logo, temos que:

\(x^3-125=\left(x-5\right)\left(x^2+x\cdot5+5^2\right)\)

\(x^3-125=\left(x-5\right)\left(x^2+5x+25\right)\)

Leia também: Produtos notáveis — multiplicações que aparecem com frequência em expressões algébricas

Exercícios resolvidos sobre fatoração de polinômios

Questão 1

Utilizando a fatoração de polinômios para simplificar a seguinte fração algébrica

\(\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}\)

encontraremos:

A) \(\frac{x-y}{x+y}\)

B) x - y

C) \(\frac{x+y}{x-y}\)

D) \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x\ -\ y}\)

Resolução:

Alternativa A

Podemos fatorar o numerador e o denominador:

\(\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x+y\right)^2}\)

Simplificando (x + y):

\(\frac{x-y}{x+y}\)

Questão 2

Considere B e A dois números consecutivos, de forma que A² – B² = 2029. Nessas condições, podemos afirmar que o valor do produto AB é:

A) 1.029.210

B) 1.031.240

C) 1.033.272

D) 1.108.800

Resolução:

Alternativa A

Fatorando A² – B² como a diferença de dois quadrados:

(A – B) (A + B) = 2029

Sabendo que A e B são números consecutivos, temos que A – B = 1. Portanto:

A + B = 2029

A – B = 1

Logo:

2A = 2030

A = 2030 : 2

A = 1015

Se A = 1015, então B = 2029 – 1015 = 1014

O produto AB é:

\(1015\ \cdot1014\ =\ 1.029.210\)