Produto interno entre dois vetores

A norma de um vetor é um número real ligado ao seu comprimento. Já o produto interno entre dois vetores é um número real que relaciona o comprimento desses dois vetores e o ângulo formado por eles.

Na Geometria Analítica, os pontos são responsáveis por representar localizações. Os vetores, por sua vez, são os elementos que distinguem, dentro do espaço onde estão, direção e sentido de movimentação de um ponto.

Dessa maneira, o vetor (1,1) representa o movimento de um ponto que partiu da origem (0,0) e deslocou-se até o ponto (1,1).

Portanto, o vetor v = (a,b) tem como ponto inicial a origem (0,0) e como ponto final (a,b). Vale ressaltar também que a representação geométrica de um vetor é feita por meio de flechas.

♦ Norma de um vetor

A norma de um vetor é parte constituinte do cálculo do produto interno entre dois vetores. Portanto, para calcular produto interno, é necessário saber antes calcular a norma.

A norma de um vetor é o seu comprimento, que pode ser calculado pela distância entre dois pontos. Para isso, lembre-se de que o vetor v = (a,b) possui um ponto inicial, que é a origem, e um ponto final (a,b). Portanto, a norma do vetor v, representada por |v|, é definida pela distância entre o ponto (0,0) e o ponto (a,b):

|v| = √(a² + b² )

♦ Produto interno entre dois vetores

Sejam w e v dois vetores quaisquer, de coordenadas w = (a,b) e v = (c,d), o produto interno desses vetores é denotado por e é calculado da seguinte maneira:

= a·c + b·d

O número que resulta desse cálculo é um número real que também pode ser obtido da seguinte maneira:

= |w|·|v|·cosα

*α é o ângulo entre os vetores w e v.

♦ Ângulo entre dois vetores

Uma vez definido o produto interno entre os vetores w e v, é possível encontrar o valor de cosα utilizando o seguinte artifício:

= |w|·|v|·cosα

= cosα
|w|·|v|           

Portanto, cosα é dado pelo produto interno entre os vetores w e v dividido pelo produto entre as normas dos vetores w e v. Esse cálculo é utilizado para encontrar o ângulo entre dois vetores.

♦ Propriedades do produto interno

Sejam u, v e w vetores e β um número real. Sabendo que o produto interno entre os vetores w e v é dado por = a·c + b·d, valem as seguintes propriedades:

i) = , isto é, o produto interno é comutativo;

ii) = + , ou seja, de certa forma, existe uma propriedade distributiva do produto interno;

iii) β = <βv,u> = . Multiplicar um produto interno por um número real é o mesmo que multiplicar qualquer um de seus vetores por esse número;

iv) = |v|². Daí resulta que ≥ 0 para todo v e que = 0 se, e somente se, v for o vetor nulo.