Propriedades dos determinantes
Existem várias técnicas utilizadas para calcular o determinante de uma matriz, entre elas estão: Regra de Sarrus, Teorema de Laplace, Teorema de Jacobi, Teorema de Binet e a Regra de Chió. Mas todas essas técnicas podem ser facilitadas se aplicarmos as propriedades dos determinantes. Vale lembrar que os determinantes, bem como suas propriedades, são aplicados apenas em matrizes quadradas. Vejamos cada uma dessas propriedades:
1ª) Se uma matriz possuir uma linha ou uma coluna nula, seu determinante será zero.
Essa propriedade é válida porque cada termo no cálculo do determinante será multiplicado por zero, resultando em um determinante nulo. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:
Matriz de ordem 3 com a segunda coluna composta por zeros.
Calculando o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus, temos:
Det = A11·0·A33 + 0·A23·A31 + A13·A21·0 – A31·0·A13 – 0·A23·A11 – A33·A21·0 = 0
Podemos ainda verificar essa propriedade através de qualquer matriz que apresente uma linha ou coluna formada por zeros.
2ª) O determinante de uma matriz será sempre igual ao determinante de sua transposta.
É fácil verificar essa propriedade, pois, ao calcular o determinante de uma matriz A ou de sua transposta At, estaremos sempre realizando as mesmas multiplicações e as mesmas adições. Vejamos o cálculo do determinante das matrizes A e At de ordem 2:
Matriz de ordem 2 e sua transposta.
Vamos calcular o determinante das duas matrizes:
Det A = A11·A22 – A21·A12
Det At = A11·A22 – A12·A21
Det A = Det At
3ª) Se trocarmos as duas linhas ou as duas colunas da matriz, trocaremos o sinal do determinante.
Essa propriedade recebe também o nome de Teorema de Bézout e pode ser facilmente comprovada através de exemplos. Veja:
Matrizes A e A', ambas de ordem 2.
Observe que a Matriz A' é uma cópia da A, mas as linhas 1 e 2 foram trocadas. Vejamos o cálculo de seus determinantes:
Det A = A11·A22 – A21·A12
Det A' = A21·A12 – A11·A22
Det A = – Det A'
4ª) Se multiplicarmos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz por um valor n qualquer, o determinante também será multiplicado por n.
A 4ª propriedade é válida porque, no cálculo do determinante, cada produto é multiplicado por n, o que, colocando em evidência, corresponde a multiplicar o próprio determinante por n. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:
Matrizes A e A', ambas de ordem 3.
Vamos calcular o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus:
5ª) Se uma matriz possui duas linhas ou colunas iguais ou múltiplas uma da outra, o determinante é nulo.
Vamos verificar essa propriedade através de exemplos:
Matrizes de ordem 2: A e B.
Veja que a matriz A apresenta duas linhas iguais. Vamos calcular seu determinante:
Det A = A11·A12 – A11·A12
Det A = 0
Podemos ver ainda que a segunda coluna da matriz B é múltipla da primeira coluna. Calcularemos seu determinante:
Det B = B11·nB21 – B21·nB11
Det B = n(B11·B21 – B21·B11)
Det B = n·0
Det B = 0
6ª) Se somarmos uma linha ou coluna à outra que foi multiplicada por um número, o determinante não será alterado.
Para demonstração dessa propriedade, é mais indicado o uso de exemplo numérico. Observe que a matriz A' (mostrada a seguir) é decorrente da matriz A. Mas para chegar à terceira coluna da matriz A', nós somamos o tripo da 2ª coluna de A à 3ª coluna de A, obtendo:
Matrizes de ordem 2: A e B.
Vamos calcular o determinante de A e de A':
Det A = 1·3·2 + 2·1·4 + 0·2·0 – 4·3·0 – 0·1·1 – 2·2·2 = 6
Det A' = 1·3·2 + 2·10·4 + 6·2·0 – 4·3·6 – 0·10·1 – 2·2·2 = 6
Det A = Det A'
7ª) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes.
Vejamos a demonstração dessa propriedade através de um exemplo:
Matrizes A e B e matriz A.B.
Vamos calcular o determinante de A e de B:
Det A = A11·A22 – A21·A12
Det B = B11·B22 – B21·B12
Det A·Det B= A11·A22·B11·B22 – A21·A12·B11·B22 – A11·A22·B21·B12 + A21·A12·B21·B12
Calculando o determinante da matriz A·B, temos:
Det (A·B) = A11·A22·B11·B22 – A21·A12·B11·B22 – A11·A22·B21·B12 + A21·A12·B21·B12
Portanto, Det A · Det B = Det (A·B).