Segunda fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é usada para encontrar potências de números complexos escritos na forma polar. Por sua vez, a segunda fórmula de Moivre é usada para encontrar raízes de números complexos também escritos na forma polar.

Considerando o número complexo z = a + bi e o número complexo u, tal que uⁿ = z, u é chamado raiz de z. Para encontrar seu valor, podemos usar a seguinte fórmula:

Para demonstrar essa fórmula, precisamos conhecer antes a primeira fórmula de Moivre.

Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é utilizada para potências que envolvem números complexos expressos em sua forma polar.

Dado o complexo z = p(cosθ + isenθ). A primeira fórmula de Moivre é representada por:

Demonstração da segunda fórmula de Moivre

Dado o número complexo z = a + bi, existe um número complexo u, tal que:

Nesse caso, o complexo u é chamado de raiz enésima de z.

Em sua forma polar, o número complexo z é representado da seguinte maneira:

Já o número complexo u, em sua forma polar, é representado da seguinte forma:

Sabendo que uⁿ = z e aplicando a primeira fórmula de Moivre, teremos:

Comparando as variáveis, podemos concluir que:

Das equações 4 e 5, teremos:

Para finalizar a demonstração, substitua as equações 6 e 3 na equação 2. Ao fazer isso, estamos criando um mecanismo para descobrir o número complexo u (raiz do complexo z), dado o complexo z em sua forma polar.

O valor de k deve variar de 0 até n – 1.

Exemplo

Qual é a raiz quadrada do complexo a seguir?

A raiz quadrada de um complexo é dada pela segunda fórmula de Moivre, com n = 2:

Para k = 0, teremos: