Sistemas de numeração

Há registros de vários sistemas de numeração durante a história das civilizações. Com a necessidade de contabilizar, o ser humano desenvolveu a ideia de número e a sua representação em algarismos e sistemas de numeração. Acontece que cada povo desenvolveu um tipo de grafia para os números e, consequentemente, houve sistemas numéricos diferentes, com quantidade de símbolos e rigor matemático distintos.

Entre os sistemas que se destacam, há o de numeração decimal, que usamos atualmente, mas há também os que foram desenvolvidos por povos como os:

• romanos
• egípcios
• sumérios
• maias
• chineses

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O que é sistema de numeração?

Os algarismos e a organização dos números nem sempre ocorreram com os símbolos que utilizamos hoje. Cada povo adotava um sistema de numeração. Entendemos como sistema de numeração os algarismos e a organização da sua representação. O nosso sistema de numeração atual possui 10 símbolos e é conhecido como sistema decimal posicional, ou seja, nele a posição dos algarismos é importante. Existem sistemas de cinco símbolos, 60 símbolos, entre outros, utilizados ao longo da história.

Organizar os números em um sistema de numeração nem sempre foi fácil, e uma das dificuldades era, por exemplo, na representação do zero. Por mais que o principal sistema de numeração utilizado seja o decimal posicional, outros estão presentes nas nossas vidas, como o sistema de numeração romano, para numerar-se séculos, e o sistema de base sexagesimal, para medir-se as horas. Ainda, a base 12 é bastante presente no cotidiano, como quando consideramos que um ano possui 12 meses ou quando compramos objetos em dúzia no mercado.

Origem dos sistemas de numeração

Na história vários povos diferentes usaram sistemas de numeração, e existem alguns deles que foram mais estudados: os sistemas de numeração chinês, maia, egípcio, romano e babilônico. O sistema numeração que adotamos hoje não apareceu pronto tal como é, mas foi sendo aperfeiçoado com o passar do tempo. Ele é conhecido como sistema decimal posicional, e sua origem é indo-arábica. Esse sistema foi escolhido pela grande facilidade de, com ele, realizarmos operações e pela sua praticidade em representar números maiores, já que é dividido em unidades, dezenas e centenas. Ele foi difundido pela Europa por conta dos comerciantes árabes, alcançando outros lugares do mundo.

É importante compreender que todo sistema de numeração é uma construção, que inicialmente não havia a noção de posição ou entendia-se o que era o número zero, mas que, com o passar do tempo e a evolução da matemática, esse tipo de organização aperfeiçoou-se até chegar ao que conhecemos.

Tipos de sistemas de numeração

Cada sistema tem suas características de acordo com a cultura dos povos. A matemática devolveu-se de acordo com a necessidade da humanidade, assim povos diferentes inventaram sistemas de numeração únicos. Ainda que os símbolos fossem diferentes, a ideia de número e de sistema de numeração esteve presente em quase todas as civilizações.

• Sistema de numeração dos sumérios

O povo sumério, que habitou a região da mesopotâmia, foi responsável pelo desenvolvimento da escrita cuneiforme. O sistema de numeração desse povo foi o primeiro, e muitas vezes é tratado também como o sistema de numeração babilônico. Não se sabe ao certo quem foi o povo responsável pelo desenvolvimento do sistema de numeração difundido no império babilônico, mas sabe-se que já era conhecido pelos sumérios.

O sistema de numeração dos sumérios e adotado pelos babilônicos foi construído com base em dois símbolos.

Características desse sistema:

• Nele é possível escrever qualquer número usando dois símbolos;
• Os números são representados em agrupamentos de 60, ou seja, sua base é sexagesimal;
• É um sistema posicional;
• Há nele um espaço entre os agrupamentos para representar-se números maiores que 60.

Exemplo

3 x 60  + 10 + 2 = 192

Veja também: Números primos – números divisíveis por 1 e por eles mesmos

• Sistema de numeração egípcio

Os egípcios desenvolveram um sistema de numeração que também possibilitava a escrita de grandes números. No entanto, diferentemente do sistema dos sumérios, ele é posicional, embora existam símbolos específicos para as potências de 10. Para construir-se os números, no sistema de numeração egípcio, são utilizados sete símbolos, e as repetições e combinações desses símbolos tornam possível a expressão de números ainda maiores.

Características desse sistema:

• Os símbolos são agrupados de 10 em 10;
• Não é posicional;
• Cada símbolo é utilizado no máximo nove vezes;
• Não existe a representação do número zero.

Exemplo

∩∩IIIII

2 x 10 + 5 = 25

• Sistema de numeração chinês

O sistema de numeração chinês é utilizado até hoje, mas, para realização de operações, os chineses utilizam o sistema indo-arábico. Como ele continua atual, inventou-se um símbolo para o número zero, mas ele não existiu por vários séculos.

Para escrever os números, esse sistema usa o princípio da multiplicação, um símbolo menor seguido de um símbolo maior significa a multiplicação entre eles. Por exemplo, para escrever-se o número 30, escreve-se o símbolo do número 3 junto ao do número 10.

Características desse sistema:

• Ele possui base 10;
• A combinação de símbolos gera novos símbolos, logo, existe uma quantidade grande de possíveis algarismos;
• É um sistema posicional.
• Nele o símbolo do zero é bastante atual.

Exemplo

Analisando o número, temos, respectivamente, os símbolos de 3, 100, 5, 10 e 2. Quando se tem um símbolo menor à esquerda, multiplicamo-lo pelo número à direita. 

3 x 100 + 5 x 10 + 2 = 352

Perceba que, para representar-se a centena zero, não foi necessário colocar nenhum símbolo.

• Sistema de numeração romano

A numeração romana é utilizada até hoje para representação de séculos. Como se trata de uma representação atual, ela recebeu algumas adaptações no decorrer do tempo. Os algarismos nesse sistema são representados por letras, e cada letra possui um valor.

I → 1

V → 5

X → 10

L → 50

C→ 100

D→ 500

M→ 1000

Para representar números diferentes dos demonstrados, utilizamos repetições dos símbolos. Um mesmo símbolo repete-se até três vezes.

Escrever um símbolo menor à esquerda, na numeração romana, implica subtração. Por exemplo, o número IV é igual a 5 – 1 = 4, ou o número CD é igual a 500 – 100 = 400.

Exemplo

MMCDLXIV

Analisando os símbolos, temos: 1000, 1000, 100, 500, 50, 10, 1, 5.

Para símbolos repetidos, realizamos a soma, e quando houver um símbolo menor à esquerda, fazemos a subtração.

2 x 1000 + 500 – 100 + 50 + 10 + 5 – 1 = 2464

Características desse sistema:

• Não possui representação do zero;
• Há nele sete símbolos;
• Símbolos menores à esquerda indicam subtração.

Acesse também: Quais são os subconjuntos dos números naturais?

• Sistema de numeração maia

O sistema de numeração maia é vigesimal, ou seja, utiliza 20 símbolos diferentes para representar números de 0 até 19. Os maias foram o primeiro povo a utilizar-se de um símbolo para o zero. Esse sistema é composto por três símbolos.

Os números nesse sistema são acumulados de 20 em 20, assim os maias fizeram um sistema de numeração em que a posição numérica é importante.

A escrita dos números maiores que 20 era na vertical, por exemplo:

Nesse caso os pontos superiores representam a quantidade de vintenas, ou seja, há duas vintenas, e o conjunto de símbolos inferiores (quatro pontos e um traço) significa as unidades, nove unidades.

O número representado então é: 2 x 20 + 9 = 49.

Características desse sistema:

• É um sistema posicional;
• Existe uma representação do zero;
• Nele se utiliza três símbolos;
• O número é representado na vertical, e as unidades ficam na parte inferior da representação.

• Sistema indo-arábico

O sistema de numeração que ainda utilizamos sofreu algumas adaptações na grafia das letras, porém ele traz grande facilidade na realização das operações básicas e na escrita. Esse sistema, conhecido também como sistema de numeração decimal ou sistema posicional decimal, possui 10 símbolos para representar os números de 0 até 9.

Nele a posição dos algarismos é importante, algarismos posicionados à frente valem 10 vezes mais que os da posição anterior. Trata-se da divisão que conhecemos como unidade, dezena, centena, e assim sucessivamente. Ele recebe esse nome, indo-arábico, por ter recebido a contribuição desses dois povos. Ao primeiro deve-se a sua invenção e organização; e ao segundo, algumas adaptações e a propagação desses números pelo comércio.

Os 10 símbolos conhecidos pelo mundo todo hoje são:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Características desse sistema:

• Existe o zero;
• O sistema é posicional;
• As quantidades são agrupadas de 10 em 10.

Vale ressaltar que existiram outros sistemas numéricos e inclusive adaptações dos apresentados, já que esse tipo de organização e representação é uma espécie de linguagem que se adapta de acordo com a cultura e a necessidade numérica dos povos.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2453. Para representar o zero, em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.

O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é:

a) 364

b) 463

c) 3064

d) 3640

e) 4603

Resolução

Alternativa C. Analisando-se a imagem, há três unidades de milhar, nenhuma centena, seis dezenas e quatro unidades. Sendo assim, o número representado é 3064.

Questão 2 - (Enem) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base 10 para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal, e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM, que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda.

Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.

Nessa disposição, o número que está representado na figura é:

a) 46 171

b) 147 016

c) 171 064

d) 460 171

e) 610 741

Resolução

Alternativa D.

Note que as casas não estão na mesma posição do nosso sistema decimal, assim, ordenando as posições da maior para a menor, temos:

Centena de milhar (CM) → 4

Dezena de milhar (DM ) → 6

Milhar (M) → 0

Centena (C) → 1

Dezena (D) → 7

Unidade (U) → 1

Dessa forma, o número representado é 460 171.