Soma e produto

A soma e o produto entre raízes de uma equação de 2º grau são expressões matemáticas que podem ser utilizadas para encontrar os valores numéricos das raízes em si. Em outras palavras, se  e  são as raízes reais de uma equação de segundo grau, sabemos quanto vale  e  e aplicaremos esse conhecimento para encontrar os valores individuais de  e .

Essa estratégia é uma alternativa mais direta à fórmula de Bhaskara, mas cuidado: em alguns casos, o procedimento da soma e do produto não é útil na determinação das raízes. Vejamos com mais detalhes como isso acontece.

Leia também: Equações incompletas do segundo grau

Resumo sobre soma e produto

• Soma e produto é um método para encontrar as raízes reais de uma equação do 2º grau.

• As fórmulas para a soma e o produto são, respectivamente, .

• Com base nas informações da soma e do produto, tentamos deduzir as raízes.

• Esse procedimento é recomendado para equações com coeficientes inteiros.

Quais as fórmulas da soma e produto?

Sejam  e  as raízes reais desconhecidas de uma equação de segundo grau. Pela fórmula de Bhaskara, sabemos que:

  e

Assim, podemos construir as fórmulas para a soma e o produto entre  e .

• Soma:

• Produto:

Vejamos como encontrar os valores de  e  por meio das fórmulas de soma e produto.

Como se calculam as raízes usando soma e produto?

Calcular as raízes reais de uma equação de 2º grau utilizando soma e produto envolve aplicar a teoria e exercitar um pouco de imaginação.

Exemplo: Determine (ou tente determinar) as raízes das equações de 2º grau  abaixo utilizando a técnica de soma e produto.

a)

Pela equação, temos que ,  e . Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

Buscamos dois números,  e , tais que a soma seja igual a 1 e o produto, igual a . Uma dica interessante é começar pelo produto, testando possibilidades. Nesse caso, como o produto é um número negativo, um dos fatores deve ser negativo e o outro positivo. Observe essas duas possibilidades:

Nos dois casos, o produto é igual a , como estamos procurando. Existem outros números cujo produto resulta em  (como  e , por exemplo), mas é mais natural iniciar esse processo de adivinhação com números menores.

Além disso, as possibilidades apresentadas são bons candidatos para os valores de  e  por conta da soma que estamos procurando: . Vamos analisar nossas suposições, agora considerando a soma:

Portanto, os valores de  e , ou seja, as raízes da equação , são:

Observação: Lembre-se de que sempre podemos conferir os números encontrados ao substituir na equação.

b)

Pela equação, ,  e . Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

Buscamos dois números,  e , tais que a soma seja igual a 10 e o produto igual a 25. Com um pouco de prática, é possível identificar que há somente uma possibilidade para  e :

Observação: Uma maneira de conferir que essa equação possui somente uma raiz real é verificar que o discriminante é nulo.

c)

Pela equação, ,  e . Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

Agora, devemos nos perguntar: quais são os dois números reais cuja soma é  e cujo produto é ? Perceba que a presença de coeficientes fracionários faz com que esse exemplo seja mais difícil que os anteriores.

Por conta disso, o uso da fórmula de Bhaskara é um caminho mais simples e adequado para encontrar as raízes reais dessa equação, que são:

d)

Pela equação, ,  e . Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

Estamos procurando dois números tais que a soma vale  e o produto vale 1. Se essa situação parece ainda mais difícil que o exemplo anterior, é o momento de recorrer a Bhaskara. Primeiramente, perceba o que ocorre quando calculamos o discriminante esta equação:

Como o discriminante é negativo, a equação  não possui raízes reais, somente raízes complexas. Ou seja, não existem  e  reais tais que a soma seja  e o produto seja 1.

Conclusão: Por meio dos exemplos, podemos concluir que em algumas circunstâncias, o método da soma e do produto não é muito eficiente para a determinação das raízes reais de uma equação de 2º grau. De forma geral, esse procedimento é aconselhado para equações com coeficientes inteiros. Ainda assim, o processo de soma e produto pode ser inconclusivo, como vimos no item d) com a equação de coeficientes inteiros .

Leia também: Três passos para resolver uma equação do segundo grau

Exercícios resolvidos sobre soma e produto

Questão 1

Considere a equação  e responda aos itens abaixo.

a) Qual a soma e o produto das raízes reais dessa equação?

b) Por meio da resposta anterior, determine as raízes reais da equação.

Solução:

a) Perceba que ,  e . Portanto, a soma das raízes é 4 e o produto é 0.

b) Como o produto é 0, concluímos que uma das raízes reais deve ser zero. Logo, a outra raiz real é 4 (pois a soma é 4).

Questão 2

Sejam S e P a soma e o produto, respectivamente, das raízes reais da equação . Assim, podemos afirmar que

a) S + P = 100

b) S + P = 95

c) S + P = 85

d)

e)

Solução:

Alternativa B

Note que ,  e , ou seja, S = 20 e P = 75. Logo, S + P = 95.