Equações polinomiais

As equações polinomiais são comuns na matemática para encontrarmos valores desconhecidos. É polinomial qualquer equação que tenha um polinômio igual a zero. O grau desse tipo de equação depende do maior expoente dos termos do polinômio. Pelo teorema fundamental da álgebra (TFA), toda equação polinomial de grau n possui n soluções complexas. Essas soluções são conhecidas como raízes da equação, quanto maior o grau do polinômio, mais difícil será encontrarmos essas raízes.

Leia também: Quatro passos para resolver equações do primeiro grau

O que é uma equação polinomial?

Definimos como polinomial toda equação que possui um polinômio P(x) igualado a zero, ou seja, P(x) = 0.

Dado um polinômio P(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₂ x² + a₁ x¹ + a₀, conhecemos então como equação exponencial a igualdade:

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₂ x² + a₁ x¹ + a₀ = 0

Em uma equação polinomial, é importante encontrarmos o grau dela para termos uma estratégia de resolução, e esse grau é definido pelo maior expoente dado à incógnita, assim como é feito nos polinômios.

Exemplos:

3x + 1 = 0 → equação polinomial do 1º grau

4x² + 3x – 3 = 0 → equação polinomial do 2º grau

-3y³ + 2y + 1 = 0 → equação polinomial do 3º grau

5a⁸ + 2a⁶ + a² + 2^a = 0 → equação polinomial do 8º grau

As equações mais comuns em problemas, tanto na matemática quanto na física e química, são as de primeiro e segundo grau.

Como resolver uma equação polinomial?

O método de resolução de uma equação polinomial está diretamente ligado ao seu tipo. Existem dois tipos de equação polinomial mais comuns em exercícios e problemas, tanto na matemática quanto nas áreas afins, são eles:

• Equação polinomial do primeiro grau
• Equação polinomial do segundo grau

• Equação polinomial do primeiro grau

Conhecendo a equação do tipo ax + b = 0, em que a e b são números reais, para resolvê-la, sempre buscaremos isolar a incógnita x, realizando as operações inversas nos dois lados da igualdade.

Exemplo:

Resolva a equação 3x + 6 = 0.

Buscar o valor de x que faz com essa equação dê zero, muitas vezes, pode ser feito de forma intuitiva, mas quando a equação torna-se mais complexa, é essencial dominar o método de resolução.

1º passo: subtrair 6 dos dois lados, o que é conhecido também como passar o 6 para o outro lado da igualdade com o sinal trocado.

3x + 6 = 0

3x + 6 – 6 = -6 

3x = -6

2º passo: dividir por 3 nos dois lados, na prática, passar o 3 para o outro lado dividindo:

Encontrar x = -2 significa que -2 é a raiz da equação, ou seja, o valor que, quando substituído no lugar do x, faz com que essa equação seja verdadeira.

• Equação do segundo grau completa

Para resolver uma equação do segundo grau completa, do tipo ax² + bx + c, recorremos ao cálculo do discriminante, conhecido também como delta, e à fórmula de Bhaskara. Existem outros métodos de resolução para equações polinomiais do segundo grau, como soma e produto.

Exemplo:

Encontre as raízes da equação x² – 3x + 2 = 0.

1º passo: encontrar a, b e c

a = 1

b = -3

c = 2

2º passo: calcular o valor do delta

3º passo: aplicar a fórmula de Bhaskara

As raízes da equação são {2,1}. Note que, ao substituirmos esses valores por x, isso faz com que a equação seja verdadeira.

Veja também: Discriminante de uma equação do segundo grau

• Fatoração

Dada uma equação polinomial, é possível fatorar um polinômio se conhecermos as suas raízes. De modo geral, seja x₁, x₂, x₃, … x_n-1, x_n as raízes da equação P(x) = 0, em que a_n é o coeficiente do termo de maior grau, então o polinômio pode ser reescrito por:

P(x) = a_n (x – x₁) (x – x₂) (x – x₃) … (x – x_n-1) (x – x_n)

Exemplo:

Dado o polinômio P(x) 2x⁴ – 10x³ – 26x² + 106x + 120, e considerando que um polinômio do 4º grau possui as raízes iguais a -3, -1, 4 e 5, escreva-o na forma fatorada:

Dadas as raízes, nós definiremos x₁ = -3, x₂ = -1, x₃ = 4 , x₄ = 5_. A ordem em que escolhemos as raízes não é importante, já que vamos escrevê-las como fatores de uma multiplicação, e na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto. Sabemos que a_n = 2, então:

P(x) = a_n(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃) (x – x₄)

P(x) = 2(x – (-3) ) (x – (-1)) (x – 4) (x – 5)

P(x) = 2(x + 3) (x + 1) (x – 4) (x – 5)

Quando uma mesma raiz aparece duas vezes na fatoração, dizemos que ela tem multiplicidade 2, ou seja, que na fatoração ela aparecerá duas vezes. Por exemplo: no produto notável (x+3)², que é igual ao polinômio x² + 6x + 9, ao buscarmos as raízes desse polinômio, o 3 terá multiplicidade 2, pois, ao aplicarmos Bhaskara, x₁ = x₂ = 3.

Essa definição funciona para o caso geral, se uma mesma raiz aparece k vezes em uma fatoração, então podemos dizer que ela possui multiplicidade k.

Acesse também: Três passos para resolver uma equação do segundo grau

Teorema fundamental da álgebra

O teorema fundamental da álgebra teve contribuições de muitos matemáticos ao longo da história. Muito antes da formalização do conjunto dos números complexos, já havia algumas afirmações sobre ele.

A sua formalização é atribuída ao matemático Gauss, que fez a primeira demonstração do teorema. O teorema fundamental da álgebra diz que um polinômio P(x) com grau n, em que n é um número natural, possuirá n raízes complexas. Isso significa que o grau de um polinômio indica a quantidade de soluções que ele possui.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Qual será a forma fatorada do polinômio P(x), sabendo que ele possui grau 5, a_n = 1 e que as suas raízes são 2, com multiplicidade 3, 5 e -2?

a) (x + 2)³ (x + 5) (x – 2)

b) (x – 2)³ (x + 5 ) (x – 2)

c) (x – 5) (x – 6) (x + 2)

d) (x – 5) (x – 2)³ (x + 2)

e) (x – 2) (x – 5) (x – 3)²

Resolução

Alternativa D.

Sabemos que se trata de um polinômio do 5º grau, logo:

P(x) = a_n(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃) (x – x₄) (x – x₅) 

No entanto, o 2 possui multiplicidade 3, seja a_n = 1, x₁ = 2, x₂ = 5 e x₃ = -2, então temos que:

P(x) = 1(x – 2)³ (x – 5) (x – (-2))

P(x) = 1(x – 2)³ (x – 5) (x + 2)

Como a ordem não é importante, podemos reordenar os fatores para que fique igual à alternativa correta.

P(x) = (x – 5) (x – 2)³ (x + 2)

Questão 2 - O polinômio P(x) = (x² +2x + 4) (x³ – 2x) possui quantas soluções complexas?

a) seis

b) cinco

c) quatro

d) três

e) zero

Resolução

Alternativa B.

Pelo teorema fundamental, o número de soluções é dado pelo grau do polinômio, nesse caso, o maior expoente possível do produto, ao aplicar-se a propriedade distributiva em (x² +2x + 4) (x³ – 2x), é x² · x³ = x²+³ = x5, o que indica que P(x) possui grau 5, logo, ele possui cinco soluções.