Demonstração da fórmula de Bhaskara

As equações do segundo grau podem ser resolvidas pela fórmula de Bhaskara, caso estejam escritas na seguinte forma:

ax² + bx + c = 0

Para isso, basta substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula do discriminante e depois encontrar os valores de x dessa equação. A saber, o discriminante e a fórmula de Bhaskara são, respectivamente:

∆ = b² – 4ac

e

x = – b ± √∆
    2a

O modo como essas duas fórmulas são demonstradas faz uso de um outro método de resolução de equações do segundo grau, conhecido como método de completar quadrados.

Antes de demonstrar as fórmulas acima, entretanto, convém relembrar alguns passos do método de completar quadrados.

Método de completar quadrados

As equações do segundo grau e os trinômios quadrados perfeitos (TQP) são muito parecidos. Portanto, é possível que qualquer equação do segundo grau seja parcialmente fatorada somando a ela a parcela que falta para que se torne um TQP. Essa parcela é sempre igual à metade do coeficiente b elevada ao quadrado. Exemplo:

x² – 6x + 8 = 0

x² – 6x = – 8

Observe que o coeficiente b = – 3 e que b² = 9. Somando 9 em ambos os lados da equação, teremos um TQP do lado esquerdo, que pode ser fatorado no produto notável a seguir:

x² – 6x + 9 = – 8 + 9

(x – 3)² = 1

Para terminar essa solução, basta fazer a raiz quadrada em ambos os membros:

√[(x – 3)²] = √1

x – 3 = 1 ou x – 3 = – 1

x = 1 + 4 = 4 ou x = – 1 + 3 = 2

S = {2, 4}

Demonstração da fórmula de Bhaskara

Essa mesma estratégia será aplicada à forma geral da equação do segundo grau: ax² + bx + c = 0. Para isso, em primeiro lugar, dividimos toda a equação pelo coeficiente a:

ax² + bx + c = 0
 a       a     a    a

x² + bx + c = 0
        a     a     

x² + bx = – c
        a        a

O segundo passo é dividir b/a por 2 e elevar o resultado ao quadrado para descobrir qual é o valor a ser somado nos dois lados da equação.

Somando esse resultado em ambos os lados da equação anterior, teremos:

Feito isso, sabemos que o primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na forma fatorada de produto notável. Assim, teremos:

Agora, é necessário somar as duas frações no segundo membro. Para isso, apenas multiplicaremos numerador e denominador da primeira fração por 4a. Isso fará com que os denominadores fiquem iguais e possibilitará a soma:

Em seguida, faça a raiz quadrada nos dois membros da equação.

Resolvendo as raízes, o resultado encontrado será:

Observe que o sinal ± aparece porque √(x²) = |x| = ± x. Prossiga passando b/2a para o segundo membro e some as frações de mesma base:

Essa expressão acima é exatamente a fórmula de Bhaskara com a fórmula do discriminante dentro da raiz. Portanto, podemos reorganizar os termos para b² – 4ac, substituir esse valor pela letra grega ∆ e obter: