Probabilidade da união de dois eventos
A probabilidade da união de dois eventos envolve a chance de o evento A ou de o evento B ocorrer. Por exemplo, imagine um espaço amostral formado por pessoas, e uma delas será sorteada aleatoriamente. Nesse caso, a probabilidade da união de dois eventos envolveria o cálculo da probabilidade de o sorteado ser uma mulher ou ter menos que 18 anos, por exemplo.
Existe uma fórmula específica para calcular a probabilidade da união de dois eventos. Dados dois eventos, A e B, a probabilidade da união de ambos é dada por:
Caso a intersecção entre os eventos seja vazia, a probabilidade da união é calculada pela soma das probabilidades de cada um dos eventos, ou seja:
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Resumo sobre a probabilidade da união de dois eventos
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Dados dois eventos, A e B, em um mesmo espaço amostral, a probabilidade da união de A com B é a probabilidade de A ou de B ocorrer.
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Para calcular a probabilidade da união de dois eventos, utilizamos a fórmula:
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Quando não existe intersecção entre os eventos, o cálculo é feito por meio da fórmula
.
Fórmula da probabilidade da união de dois eventos
A probabilidade da união de dois eventos, A e B, é representada por
Podemos dizer, então, que a probabilidade da união de dois eventos é calculada pela probabilidade do primeiro evento ocorrer mais a probabilidade do segundo evento ocorrer menos a probabilidade da intersecção de ambos, sendo que a probabilidade da intersecção de dois eventos é igual à probabilidade do primeiro e do segundo evento ocorrerem simultaneamente.
A segunda fórmula de probabilidade da união serve para o caso de não haver intersecção entre os dois eventos, ou seja, quando eles são mutuamente exclusivos. Nesse caso, a intersecção é igual a 0, então a probabilidade da união de dois eventos mutuamente exclusivos é calculada por:
Como calcular a probabilidade da união de dois eventos
Para calcular a probabilidade da união de dois eventos, é importante calcularmos cada uma das probabilidades, pois temos que:
Consideramos que
De forma análoga, temos:
Assim, para calcular a probabilidade da união, obtemos:
Exemplo:
Dois dados serão lançados simultaneamente, e a soma daquilo que apareceu na face superior será anotada. Nessa situação, qual é a probabilidade de o resultado ser um número múltiplo de 3 ou maior que 8?
Resolução:
Primeiramente, vamos identificar os eventos:
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A → aparecer um número múltiplo de 3.
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B → aparecer um número maior que 8.
Ao lançar dois dados, temos os seguintes resultados possíveis:
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D1 \D2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
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2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
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3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
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6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Analisando a tabela, temos que:
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n(A) = 12, ou seja, há 12 resultados múltiplos de 3.
-
n(B) = 10, ou seja, há 10 resultados maiores que 8.
Agora, encontraremos a intersecção, que são os resultados maiores que 8 e múltiplos de 3, ou seja, o 9 que se repete 4 vezes e o 12.
n
Há 5 resultados que são múltiplos de 3 e maiores que 8.
Por fim, sabemos que há um total de 36 possibilidades.
n(U) = 36
Calculando a probabilidade, temos:
Leia também: Três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade
Exercícios resolvidos sobre probabilidade da união de dois eventos
Questão 1
Uma moeda será lançada três vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de aparecer cara exatamente uma vez ou coroa exatamente uma vez?
A) 2/3
B) 1/4
C) 1/2
D) 3/4
E) 7/8
Resolução:
Alternativa D
Primeiramente, identificaremos os eventos.
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A → aparecer cara exatamente uma vez.
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B → aparecer coroa exatamente uma vez.
Agora, descreveremos o nosso conjunto universo:
c: cara e k: coroa
U = {ccc, cck, ckc, kcc, kkc, kck, ckk, kkk}
n(U) = 8
Então, temos:
A = {kkc, kck, ckk}
n(A) = 3
B = {kkc, kck, ckk}
n(B) = 3
Nesse caso, sabemos que a intersecção é vazia. Assim, calculando a probabilidade:
Questão 2
Em uma urna, há cartões numerados de 1 a 25, e 1 cartão será sorteado ao acaso. Nessas condições, qual é a probabilidade de o número do cartão ser múltiplo de 4 ou múltiplo de 6?
A) 0,32
B) 0,45
C) 0,54
D) 0,64
E) 0,80
Resolução:
Alternativa A
Os eventos são:
-
Sair um número múltiplo de 4: A = {4, 8, 12, 16, 20, 24}
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Sair um número múltiplo de 6: B = {6, 12, 18, 24}
A intersecção entre os conjuntos é igual a
n(A) = 6 e n(B) = 4
Por fim, como há 25 cartões, n(U) = 25. Sendo assim, temos: