Vetores

Os vetores são ferramentas matemáticas que podem representar as grandezas físicas vetoriais. Com eles é possível realizar diversas operações algébricas, tais como soma de vetores na mesma direção e sentido, subtração de vetores na mesma direção e sentido (soma de vetores opostos), soma de vetores perpendiculares, soma de vetores oblíquos, e multiplicação de um vetor por um número real.

Leia também: Qual a diferença entre grandezas vetoriais e grandezas escalares?

Resumo sobre os vetores

• Os vetores são segmentos de reta caracterizados pelo sentido, direção e módulo.
• Os vetores podem ser iguais, opostos, perpendiculares, oblíquos, nulos, unitários e resultantes.
• O resultado das operações com vetores é um vetor resultante.
• Usamos os vetores na representação das grandezas vetoriais estudadas na física e como pontos, retas e planos no espaço na geometria.
• Na decomposição vetorial, é possível descobrir as componentes horizontais e verticais dos vetores.

O que são vetores?

Os vetores são segmentos de reta que se assemelham a setas. Eles são capazes de representar as grandezas físicas vetoriais (aquelas que precisam de orientação e módulo).

Características dos vetores

Os vetores são caracterizados pelo sentido, direção e módulo.

• Sentido: fornece a orientação para direita, esquerda, cima, baixo, norte, sul, leste, oeste e outras orientações do vetor.
• Direção: fornece a orientação horizontal, vertical ou diagonal do vetor.
• Módulo: fornece o tamanho ou intensidade do vetor, podendo ser usado nas operações com vetores.

Quais são os tipos de vetores?

Os vetores podem ser classificados como iguais, opostos, perpendiculares, oblíquos, nulos, unitários e resultantes.

• Vetores iguais: têm as mesmas características de módulo, direção e sentido.

• Vetores opostos: têm mesma direção, mas sentidos diferentes, e são representados por um sinal negativo em seu módulo.

• Vetores perpendiculares: são formados por uma dupla de vetores que fazem um ângulo de 90º entre si.

• Vetores oblíquos: são formados por uma dupla de vetores que fazem um ângulo qualquer e diferente de 0°, 90° e 180°.

• Vetores nulos: têm módulo ou tamanho igual a zero, direção indefinida e sentido indefinido, sendo representado por $\vec{0}$.
• Vetores unitários: têm módulo ou tamanho igual a 1.
• Vetores resultantes: são resultado das operações com vetores.

Operações com vetores

As operações com vetores incluem soma de vetores na mesma direção e sentido, subtração de vetores na mesma direção e sentido (soma de vetores opostos), soma de vetores perpendiculares, soma de vetores oblíquos, e multiplicação de um vetor por um número real.

→ Soma de vetores na mesma direção e no mesmo sentido

Na soma de vetores na mesma direção e sentido, originam-se um vetor resultante, com mesma direção e sentido dos vetores, e um módulo calculado pela adição dos vetores (das suas componentes ou do seu módulo).

$\vec{R} = \vec{v} + \vec{u}$

• Exemplo: 

Qual o vetor resultante da soma de vetores na mesma direção e sentido e com tamanhos de 2 unidades e de 5 unidades?

Resolução:

$\vec{R} = \vec{v} + \vec{u}$

$\vec{R} = 2 + 5$

$\vec{R} = 7\ \text{unidades}$

→ Subtração de vetores na mesma direção e no mesmo sentido

Tanto na subtração de vetores na mesma direção e no mesmo sentido quanto na soma de vetores opostos, origina-se um vetor resultante com mesma direção dos vetores, mesmo sentido do vetor de maior módulo e módulo calculado pela diferença entre os vetores ou adição dos vetores opostos (das suas componentes ou do seu módulo). Ambos os casos darão o mesmo resultado.

• Substração de vetores na mesma direção e sentido: $\vec{R} = \vec{v} + \vec{u}$ 
• Soma de vetores opostos: $\vec{R} = \vec{v} + (\vec{-u})$ 

• Exemplo:

Qual o vetor resultante da subtração dos vetores de tamanhos de 7 unidades e de 5 unidades?

Resolução:

Substração de vetores na mesma direção e no mesmo sentido:

$\vec{R} = \vec{v} - \vec{u}$

$\vec{R} = 7-5$

$\vec{R} = 2\ \text{unidades}$

→ Soma de vetores perpendiculares

Na soma de vetores perpendiculares, origina-se um vetor resultante com sentido e direção dados pela regra do paralelogramo e módulo calculado pelo teorema de Pitágoras, em que a hipotenusa representa o módulo do vetor resultante e os catetos representam os módulos dos vetores perpendiculares:

$\text{hipotenusa}^2 = \text{cateto}_1^2 + \text{cateto}_2^2$

$R^2=v^2+u^2$

• Exemplo: 

Qual o vetor resultante da soma de vetores perpendiculares com tamanhos de três unidades e de quatro unidades?

Resolução:

$\text{hipotenusa}^2 = \text{cateto}_1^2 + \text{cateto}_2^2$

$R^2=v^2+u^2$

$R^2=3^2+4^2$

$R^2=9 + 16$

$R^2=25$

$R= 5\ \text{unidades}$

→ Soma de vetores oblíquos

Na soma de vetores oblíquos, origina-se um vetor resultante com sentido e direção dados pela regra do paralelogramo e módulo calculado pela lei dos cossenos, em que a hipotenusa representa o módulo do vetor resultante, os catetos representam os módulos dos vetores oblíquos e teta representa o ângulo entre os vetores oblíquos:

$\text{hipotenusa}^2 = \text{cateto}_1^2 + \text{cateto}_2^2 - 2\cdot \text{cateto}_1 \cdot \text{cateto}_2 \cdot cos \theta$

$R^2=v^2+u^2 - 2\cdot v\cdot u\cdot cos\theta$

• Exemplo: 

Qual o vetor resultante da soma de vetores oblíquos com tamanhos de 1 unidade e de 6 unidades e ângulo entre eles de 60º?

Resolução:

$R^2=v^2+u^2 - 2\cdot v\cdot u\cdot cos\theta$

$R^2=1^2+6^2 - 2\cdot 1\cdot 6\cdot cos60º$

$R^2=1 +36-6$

$R^2=31$

$R\cong 5,57\ \ unidades$

→ Multiplicação de um vetor por um número real

Na multiplicação de um vetor por um número real, origina-se um vetor resultante com mesma direção do vetor, sentido que depende do produto do vetor pelo número e módulo calculado pelo produto do número real com o vetor (das suas componentes ou do seu módulo), em que n  representa o número real.

$\vec{R} = n \cdot \vec{v}$

• Exemplo: 

Qual o vetor resultante da multiplicação do vetor de tamanho de 10 unidades pelo número real -5?

Resolução:

$\vec{R} = n \cdot \vec{v}$

$\vec{R} = -5 \cdot 10$

$\vec{R} = 50 \ unidades$

Para saber mais sobre operações com vetores, clique aqui.

Regra do paralelogramo

A regra do paralelogramo fornece a direção e o sentido do vetor resultante em algumas operações com vetores. Nessa regra, primeiramente, desenha-se a componente dos vetores (setas pontilhadas) formando uma figura geométrica, como um quadrado, retângulo, losango ou paralelogramo, e, por fim, liga-se o ponto entre os vetores originais até o ponto de encontro das suas componentes, gerando uma diagonal que representa o vetor resultante (vetor cinza), conforme descrito na imagem abaixo:

Onde são usados os vetores?

Os vetores são usados para representar grandezas vetoriais estudadas na física; pontos, retas e planos no espaço na geometria; e são elementos dos espaços vetoriais na algébra linear.

Decomposição vetorial

A decomposição vetorial é um método matemático usado para encontrar as componentes (projeções ou sombras) horizontal e vertical de um vetor.  

Para realizar a decomposição vetorial, primeiramente deve-se identificar a orientação do vetor, em seguida, desenha-se suas componentes (linhas tracejadas) e, por fim, analisa-se a posição do ângulo, conforme a imagem abaixo:

• Ângulo na horizontal (Figura 1): a componente x e a componente y serão calculadas pelas fórmulas:

A_x = A · cosθ 

A_y = A · senθ 

• Ângulo na vertical (Figura 2): a componente x e a componente y serão calculadas pelas fórmulas:

A_x = A · senθ 

A_y = A · cosθ 

Para saber mais sobre decomposição vetorial, clique aqui.

Exercícios resolvidos sobre vetores

Questão 1

(UEPG) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:

A) escalar

B) algébrica

C) linear

D) vetorial

E) n.d.a.

Resolução:

Alternativa D.

A velocidade pode ser definida como uma grandeza vetorial, já que precisa de sentido, direção e módulo.

Questão 2

(Enem) A força de atrito é uma força que depende do contato entre corpos. Pode ser definida como uma força de oposição à tendência de deslocamento dos corpos e é gerada devido a irregularidades entre duas superfícies em contato. Na figura, as setas representam forças que atuam no corpo e o ponto ampliado representa as irregularidades que existem entre as duas superfícies.

Na figura, os vetores que representam as forças que provocam o deslocamento e o atrito são, respectivamente:

A)

B)

C)

D)

E)

Resolução:

Alternativa A.

O vetor que representa a força que provoca o deslocamento está na direção horizontal e no sentido para a direita, já a força que provoca o atrito está na direção horizontal e no sentido para a esquerda.

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.