Vetores

Vetor é um segmento de reta orientado que apresenta módulo (tamanho), direção e sentido. Os vetores são usados para expressar grandezas físicas vetoriais, ou seja, aquelas que só podem ser completamente definidas se conhecemos o seu valor numérico, a direção em que atuam (horizontal e vertical), bem como o seu o sentido (para cima, para baixo).

Posição, velocidade, aceleração, força e quantidade de movimento são bons exemplos de grandezas vetoriais. Por exemplo, se quisermos saber a posição de algum local, é necessário que se aponte para uma direção. Nesse caso, o sentido do movimento é dado pela ponta do dedo.

Para desenharmos vetores, é necessário perceber que sua representação deve levar em conta o seu tamanho, ou seja, um vetor que represente uma grandeza de valor numérico igual a 10 deve ser desenhado com a metade do tamanho de um vetor que tenha tamanho 20.

As direções de um vetor podem ser definidas com base no sistema de coordenadas escolhido, por exemplo. Usando-se o sistema cartesiano, as direções do espaço seriam x e y e um vetor poderia ser escrito como V = (x, y). O sentido, por sua vez, diz respeito à seta na ponta do vetor, que o indica, podendo ser tanto positivo como negativo.

Quando escrevemos que um vetor é definido por suas coordenadas x e y, dizemos que x e y são as suas componentes horizontal e vertical, respectivamente. Quando um vetor encontra-se inclinado, sem coincidir com qualquer um dos eixos do sistema de coordenadas, é possível determinar o tamanho das suas componentes. Para tanto, basta conhecermos o ângulo θ, formado entre o vetor e a direção horizontal, e o módulo do vetor a:

Para calcularmos essas componentes, é necessário fazer o seguinte cálculo:

Com base nas componentes a_x e a_y de um vetor, é possível calcular o seu módulo (tamanho). Para isso, basta aplicarmos o teorema de Pitágoras, uma vez que essas componentes são perpendiculares entre si:

Vetor resultante

Vetor resultante é o nome dado ao vetor que se obtém após realizar-se uma soma vetorial. Na soma vetorial, devemos considerar o módulo, a direção e o sentido dos vetores para encontrarmos o vetor resultante. Vejamos, a seguir, alguns casos de operações com vetores.

Operações com vetores

→ Soma de vetores

Vetores paralelos são aqueles que se encontram na mesma direção e no mesmo sentido. O ângulo formado entre esses vetores é sempre nulo. Observe a figura abaixo:

Caso esses vetores tenham também o mesmo módulo, dizemos que se trata de vetores iguais. Para encontrarmos a resultante desses vetores, basta somarmos o módulo de cada um, além disso, o vetor resultante estará na mesma direção e sentido dos vetores paralelos, e seu tamanho deverá ser o tamanho dos dois vetores originários:

Para calcularmos o módulo do vetor R, podemos utilizar a seguinte fórmula:

→ Subtração de vetores

Vetores opostos fazem um ângulo de 180º entre si, encontram-se na mesma direção, porém com sentidos contrários, como mostra a figura:

O vetor resultante de dois vetores opostos é dado pela diferença no módulo desses, como é possível ver na figura seguinte:

Nesse caso, o vetor resultante terá sua direção e sentido determinados pelo vetor de maior módulo e poderá ser calculado por meio da seguinte fórmula:

→ Vetores perpendiculares: Teorema de Pitágoras

Vetores perpendiculares formam um ângulo de 90º entre si. Para encontrarmos o vetor resultante de dois vetores perpendiculares, devemos ligar o início de um dos vetores à ponta do outro. O vetor resultante, nesse caso, formará a hipotenusa de um triângulo retângulo, observe:

O módulo desse vetor resultante pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras:

→ Vetores oblíquos: regra do paralelogramo 

Vetores que não se encaixem em nenhum dos casos anteriores podem ser determinados geometricamente pela regra do paralelogramo, como na próxima figura:

Sendo θ o ângulo formado entre os dois vetores de base (azul e vermelho), o módulo do vetor resultante poderá ser obtido por meio da próxima fórmula:

→ Resultante de vários vetores

Quando temos diversos vetores e queremos encontrar o vetor resultante, devemos conectá-los uns aos outros. Nesse processo, que independe da ordem escolhida, devemos ligar a ponta de um vetor ao início do próximo. No fim, o vetor resultante será aquele que liga o início do primeiro vetor com a ponta do último:

Para encontrarmos o módulo desse vetor, somamos as componentes x e y de cada um dos vetores a, b, c, e d, e, no fim, aplicamos o Teorema de Pitágoras.

Exercícios resolvidos sobre vetores

1) Assinale a alternativa que apresenta corretamente o módulo da resultante de dois vetores, A e B, cujas componentes são dadas por A = (12,5) e B = (-9,-1).

a) 12

b) 4

c) 6

d) 5

e) 3

Gabarito: Letra D

Resolução:

Para determinarmos o vetor resultante dos vetores A e B, precisamos somar suas componentes x e y, para tanto, faremos o seguinte cálculo:

De acordo com o resultado encontrado, o vetor resultante é dado V_R = (3,4) e seu módulo vale 5.

2) Dois vetores, de módulos iguais a 3 e 2, formam entre si um ângulo de 60º. Determine o módulo da resultante desses vetores.

a) 6

b) √6

c) 5

d) √19

e) 5

Gabarito: Letra E

Resolução:

Para calcularmos o módulo do vetor resultante entre esses dois vetores oblíquos, é necessário utilizarmos a lei dos cossenos, considerando que o ângulo entre esses vetores é 60º. Dessa forma, teremos que fazer o seguinte cálculo:

3) Um vetor A, de módulo 5, encontra-se inclinado com ângulo de 30º em relação ao eixo horizontal. Determine o módulo das componentes horizontal e vertical, A_x e A_y, desses vetores.

a) √3 e √2

b) 5√3/2 e 5/2

c) 5/2 e 5

d) 3/4 e 5/2

e) 25 e √2

Gabarito: Letra B

Resolução:

Para determinarmos quais são as componentes do vetor A, devemos utilizar as relações do seu módulo com o seno e o cosseno do ângulo de 30º, que esse vetor forma com a direção x. Para tanto, devemos fazer o seguinte cálculo: