Velocidade vetorial

A velocidade vetorial é aquela que não considera o trajeto de um corpo, mas a distância retilínea entre o início e o fim do deslocamento e o tempo gasto para que ele ocorra.

A velocidade vetorial é a razão entre o vetor deslocamento e o tempo necessário para esse deslocamento ocorrer. Como se trata de um vetor, o deslocamento tem um módulo, uma direção e um sentido. O sentido determina se o deslocamento e, consequentemente, a velocidade serão positivos ou negativos.

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Quando se trabalha com a velocidade em apenas uma direção, ela será do tipo escalar, mas ambas, escalar e vetorial, implicam a razão entre um espaço percorrido pelo tempo gasto para percorrê-lo. Quando a velocidade está no sentido oposto ao considerado deslocamento positivo, o movimento é considerado retrógrado. Caso ela for direcionada ao sentido positivo do deslocamento, o movimento é considerado progressivo.

Leia também: Afinal, o que é um vetor?

Resumo sobre velocidade vetorial

A velocidade vetorial é a razão entre o vetor deslocamento e o tempo gasto para ele ocorrer.
Se a velocidade está no sentido positivo do deslocamento, o movimento é do tipo progressivo.
Se a velocidade está no sentido negativo do deslocamento, o movimento é do tipo retrógrado.
Quando se considera todo o deslocamento na mesma direção, a velocidade é do tipo escalar, tendo em conta apenas o módulo e o sentido do deslocamento.
A velocidade vetorial média é a razão entre o deslocamento total de um trajeto e o tempo gasto para percorrê-lo.
A velocidade vetorial instantânea, ou apenas velocidade, é a medida da velocidade no menor instante de tempo possível.

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O que é velocidade vetorial?

A velocidade vetorial é um vetor e, consequentemente, possui módulo, direção e sentido.

Módulo: é a intensidade da velocidade, o seu valor numérico. A velocidade, de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, é medida em metros por segundos (m/s), mas é costume aparecer em quilômetros por hora (km/h).
Direção: é a posição do vetor, ou seja, horizontal, vertical ou diagonal.
Sentido: é a orientação do vetor. Se for para cima e para a direita, é considerado positivo; para baixo e para a esquerda, negativo.

Considere o sentido positivo do deslocamento, indo da esquerda para direita. Um corpo que se move nesse sentido tem sua velocidade positiva. Nesse caso, o movimento é chamado de progressivo, porque os pontos onde as posições são registradas aumentam. Quando o corpo se move da direita para esquerda, o seu sentido é contrário ao considerando positivo. Nesse caso, como os valores das posições diminuem, o movimento é considerado retrógrado.

Duas pessoas correndo em sentidos opostos ilustram os conceitos de movimento progressivo e retrógrado.

Como calcular a velocidade vetorial?

A velocidade vetorial é a razão entre o vetor deslocamento e o tempo gasto para que ele ocorra:

\(\vec{v}=\frac{\vec{d}}{∆t}\)

\(∆t=t_f-t_i\)

Vetores na composição da velocidade vetorial — O vetor roxo é o deslocamento resultante dos deslocamentos d_a e d_b, levado em conta na velocidade vetorial.

Sendo assim, o deslocamento d, em regra geral, é dado por:

\(\vec{d}=\vec{d_b}-\vec{d_a}\)

Se o ângulo â entre d_a e d_b for igual a 90°, d será obtido pelo teorema de Pitágoras.
Se o ângulo â entre d_a e d_b for igual a 0° e 180°, d_a e d_b estarão na mesma direção, logo basta somá-los (0°) ou subtraí-los (180°).
Se for diferente de 0°, 90° e 180°, d será obtido pela lei dos cossenos.

ângulo â	\(\vec{d}=\vec{d_b}-\vec{d_a}\)
0°	\(d=d_a+d_b\)
180°	\(d=d_a-d_b\)
90°	\(d^2=d_a^2+d_b^2\)
diferente de 0°, 90° e 180°	\(d^2=d_a^2+d_b-2·d_a·d_b·cosâ\)

Velocidade vetorial média

A velocidade vetorial média é obtida por meio da razão entre o vetor deslocamento e a duração total do trajeto. A velocidade vetorial e velocidade vetorial média possuem conceitos similares.

\(\vec{v_m}=\frac{\vec{d}}{∆t}\)

Quando se lida com a velocidade escalar, a diferença fica mais evidente. Na velocidade escalar média, são abrangidos todos os momentos do trajeto, inclusive aqueles em que o corpo esteve em repouso ou mudou de direção — como uma média aritmética de todas as velocidades instantâneas do percurso.

\(v_m=\frac{d_t}{∆t}\)

Diferenças entre a velocidade vetorial e a velocidade escalar

A velocidade vetorial considera que o movimento pode se dar em várias dimensões (direção do vetor), logo a combinação de todas fornece o vetor resultante do deslocamento do corpo (\(\vec{d}\)). Por sua vez, a velocidade escalar leva em conta todo o deslocamento (\(d_a\) e d_b), porém considera todo o percurso em apenas uma direção.

Por exemplo, um carro percorrendo uma rua na horizontal por 20 metros vira em uma rua tendo um trajeto vertical de 30 m. Para a velocidade vetorial, a distância seria o vetor deslocamento resultante de um vetor horizontal e outro vertical. Já para a velocidade escalar, a distância seria a soma dos dois deslocamentos, ou seja, a distância d seria 20 mais 30, portanto, 50 metros.

Exemplo

Um carro inicia seu trajeto no ponto A demonstrado na figura a seguir às 11h e chega ao ponto B às 11h05min. Determine:

(Dado: cosseno de 60° = 0,5)

Representação de trajeto percorrido por carro

a) A velocidade vetorial média do carro em km/h:

Extraindo os dados:

d_a = 400 m
d_b = 300 m
â = 120°
cos 120° = - cos 60° = - 0,5 (cosseno no 2º quadrante é negativo)
ti = 11h
tf = 11h05min

Primeiramente, é necessário calcular o vetor resultante d. Como o ângulo é diferente de 0°, 90° e 180°, utiliza-se a lei dos cossenos.

\(d^2=d_a^2+d_b-2·dₐ·d_b·cosâ\)

\(d^2={400}^2+{300}^2-2·400·300·(- 0,5)\)

\(d^2=160000+90000+12000\)

\(d^2=320000\)

Como d está elevado ao quadrado, acrescenta-se raiz quadrada em ambos os lados da equação para eliminá-lo.

\(\sqrt{d^2}=\sqrt{320000}\)

\(d=565,7\ m\approx566\ m\)

A duração Δt é dada pela diferença entre o tempo de partida e o tempo de chegada.

\(∆t=tf-ti=11h05\ min-11h=5\ minutos\)

Como o deslocamento está em metros, o tempo deve estar em segundos. Assim, os minutos devem ser multiplicados por 60.

\(∆t=5min·60=300\ segundos\)

\(\vec{v_m}=\frac{\vec{d}}{∆t}=\frac{566}{300}=1,88\ m/s\)

Para transformar m/s em km/h, é necessário multiplicar o valor por 3,6.

\(\vec{v_m}=1,88·3,6=6,7\ km/h\)

b) A velocidade escalar média do carro em km/h:

Os dados são os mesmos, porém a diferença se dá em como considerar alguns deles. O trajeto não será mais uma combinação de vetores — será tratado como se a direção fosse a mesma nele todo:

d_t = d_a + d_b = 400 + 300 = 700 m

\(v_m=\frac{d_t}{∆t}=\frac{700}{300}=2,33\ m/s \)

\(v_m=2,33·3,6=8,38\ km/h\)

c) A razão de a velocidade média escalar ser maior que a velocidade média vetorial:

O tempo para ambas foi o mesmo, os 300 segundos. Porém, na velocidade média vetorial, como a distância percorrida é uma linha reta entre a origem e o fim do trajeto, o deslocamento será menor do que o considerado na velocidade média escalar, que é a soma escalar de todo o deslocamento. Dessa forma, quanto maior o deslocamento e menor o tempo, maior será a velocidade, por isso a velocidade média escalar é maior.

Velocidade vetorial instantânea

A velocidade vetorial instantânea é aquela registrada pelos velocímetros dos veículos ou radares de trânsito em um trajeto retilíneo. Considera-se um espaço percorrido no menor tempo possível — como o próprio nome já fala, em um “instante”.

Exercícios resolvidos sobre velocidade vetorial

Questão 1

Um ciclista, durante uma determinada competição dentro da cidade, se deslocou por 0,12 km na horizontal e depois por 0,16 km na vertical, chegando em seu destino 0,01 hora após a largada. Qual é a velocidade vetorial média do ciclista?

a) 55 km/h

b) 8,3 m/s

c) 90 m/s

d) 61 km/h

e) 5,56 m/s

Resposta

Letra E

Extraindo os dados:

da = 0,12 km (horizontal)
db = 0,16 km (vertical)
Δt = 0,01 h
\( \vec{v_m}=\ ?\)

Como os trajetos são na horizontal e vertical, o ângulo entre eles será de 90°. Para calcular o vetor deslocamento, o teorema de Pitágoras deve ser utilizado.

\(d^2=d_a^2+d_b^2={0,12}^2+{0,16}^2=0,0144+0,0256=0,4\)

\(d^2=0,04\)

Como d está elevado ao quadrado, acrescenta-se raiz quadrada em ambos os lados da equação para eliminá-lo.

\(\sqrt{d^2}=\sqrt{0,04}\)

d = 0,2 km

\(\vec{v_m}=\frac{\vec{d}}{∆t}=\frac{0,2}{0,01}=20\ km/h\)

\(\vec{v_m}=\frac{20}{3,6}=5,56\ m/s\)

Questão 2

Jurandir estava viajando da cidade Helenópolis, que fica na posição 200 km na rodovia estadual, para a cidade Petrônios, que se localiza no marco 80 km da mesma rodovia. Considere que sua velocidade escalar média é igual a 15 m/s. Marque a alternativa que fornece o tempo, em horas, da sua viagem e o tipo correto do movimento.

a) 10 horas — progressivo

b) 2,22 horas — retrógrado

c) 11,5 horas — retrógrado

d) 2,22 horas — progressivo

e) 0,6 horas — retrógrado

Resposta:

Letra B

Extraindo os dados:

d_a = 200 km
d_b = 80 km
v_m = 15 m/s
Δt = ? horas

Primeiramente, deve-se calcular o deslocamento total, já que o problema fornece a velocidade escalar média.

\(d_t=d_b-d_a=80-200=-120\ km\)

Como o deslocamento é no sentido decrescente, ou seja, 200 km para 80 km, o movimento é do tipo retrógrado. Logo, a velocidade deverá ser considerada negativa. O deslocamento está em km, e o tempo pedido deve estar em horas, logo a velocidade em m/s deve ser convertida para km/h, multiplicando o valor por 3,6.

v_m = - 15 · 3,6 = - 54 km/h

\(v_m=\frac{d_t}{∆t}\)

\(-\ 54=\frac{- 120}{∆t}\)

Como o Δt está sozinho no denominador, ele troca de posição com o - 54, ficando isolado.

\(∆t=\frac{- 120}{- 54}=2,22\ h\)