Cinemática vetorial

A cinemática vetorial é a parte da cinemática, um dos ramos da mecânica clássica, responsável pelo estudo do movimento dos corpos considerando as características vetoriais (módulo, direção e sentido) das grandezas físicas vetoriais, sem levar em consideração a razão que provocou o seu movimento.

Leia também: Quais são os conceitos básicos da cinemática?

Resumo sobre cinemática vetorial

• A cinemática vetorial é a parte da cinemática, um dos ramos da mecânica clássica, que analisa de maneira vetorial a posição, a velocidade e a aceleração dos corpos.

• O deslocamento vetorial é a descrição em notação vetorial da alteração de posição de um corpo.

• A velocidade vetorial é a descrição em notação vetorial da variação de posição de um corpo em um intervalo de tempo.

• A aceleração vetorial é a descrição em notação vetorial da variação de velocidade em um intervalo de tempo.

• A composição de movimentos é uma análise de movimentos que se sucedem ao mesmo tempo e inclusive são observados como um só; contudo, eles ocorrem em diferentes direções e/ou diferentes sentidos.

• Enquanto na cinemática vetorial levamos em conta o módulo, a direção e o sentido das grandezas vetoriais, na cinemática escalar não levamos em conta essas características vetoriais.

O que é cinemática vetorial?

A cinemática vetorial é a parte da cinemática, um dos ramos da mecânica clássica, responsável pela investigação do movimento dos corpos em termos de vetores. Por isso, faz-se necessário considerar a orientação (sentido e direção) e o módulo grandezas físicas vetoriais, como o deslocamento, a velocidade e a aceleração.

As grandezas físicas escalares, tanto na cinemática vetorial quanto na cinemática escalar, são descritas apenas em termos do seu módulo, não necessitando do formalismo vetorial.

Deslocamento vetorial

O deslocamento vetorial diz respeito à variação de posição realizada por um corpo levando em consideração a sua direção, o seu sentido e o seu módulo; diferentemente do deslocamento escalar (ou só deslocamento), que leva em consideração apenas o seu módulo.

Velocidade e aceleração vetorial

A velocidade vetorial diz respeito à variação de posição realizada por um corpo em um intervalo de tempo, levando em consideração a sua direção, o seu sentido e o seu módulo.

Já a aceleração vetorial diz respeito à variação de velocidade de um corpo em um período, também levando em consideração a sua direção, o seu sentido e o seu módulo.

Fórmulas da cinemática vetorial

→ Deslocamento vetorial

Na notação de vetores unitários, \(\vec{r}\) pode ser escrito como:

\(\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)

• \(\vec{r}\) → vetor posição, que conecta um ponto de referência (em geral da origem de um sistema de coordenadas) à partícula, medido em metros [m] .
• \(x\hat{i}, y\hat{j}, z\hat{k}\)  → componentes vetoriais do vetor posição.
• \(x, y, z\)  → componentes escalares do vetor posição, medidas em metros [m] .

\(\vec{∆r}=\ \vec{r_f}+\vec{r_i}\)

• \(\vec{∆r}\)  → vetor deslocamento da partícula, medido em metros [m] .
• \(\vec{r_f}\)  → vetor posição no ponto final, medido em metros [m] .
• \(\vec{r_i}\)  → vetor posição no ponto inicial, medido em metros [m] .

Usando a notação de vetores unitários, \(\vec{∆r}\) pode ser representado como:

\(∆\vec{r}=\left(x_f\hat{i}+y_f\hat{j}+z_f\hat{k}\right)-\left(x_i\hat{i}+y_i\hat{j}+z_i\hat{k}\right)\)

\(∆\vec{r}=\left(x_f-x_i\right)\hat{i}+\left(y_f-y_i\right)\hat{j}+(z_f-z_i)\hat{k}\)

• \(x_i,\ y_i,\ z_i\)  → coordenadas que correspondem ao vetor posição \({\vec{r}}_i\), medidas em metros [m] .
• \(x_f,\ y_f,\ z_f\)  → coordenadas que correspondem ao vetor posição \({\vec{r}}_f\), medidas em metros [m] .

Podemos escrever o vetor deslocamento em termos da variação (∆):

\(∆\vec{r}=∆x\hat{i}+∆y\hat{j}+∆z\hat{k}\)

• ∆x , ∆y  e ∆z  → variações entre os vetores posição \({\vec{r}}_f\) e \({\vec{r}}_i\), medidas em metros [m] .

→ Velocidade vetorial

A velocidade média pode ser calculada pela fórmula:

\(\vec{v}_{média}=\frac{{\vec{r}}_f-{\vec{r}}_i}{t_f-t_i}\)

•  \(\vec{v}_{média}\) → vetor velocidade média, medido em metros por segundo \([m/s]\)
• \({\vec{r}}_f\) → vetor posição no ponto final, medido em metros [m] .
• \({\vec{r}}_i\) → vetor posição no inicial, medido em metros [m] .
• \(t_f\) → tempo final, medido em segundos [s] .
• \(t_i\) → tempo inicial, medido em segundos [s] .

Já a velocidade instantânea (ou simplesmente velocidade) pode ser calculada pela fórmula:

\(\vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}\)

• \(\vec{v} \) → velocidade instantânea, medida em metros por segundo [m/s] .
• \(v_x, v_y, v_z\)  → componentes escalares de v , medidas em metros por segundo [m/s] .

Em que:

\(v_x=\frac{dx}{dt}\)

\(v_y=\frac{dy}{dt}\)

\(v_z=\frac{dz}{dt}\)

• \(v_x, v_y, v_z\) → componentes escalares de \(\vec{v}\), medidas em metros por segundo [m/s] .
• \(x,y,z\)  → componenetes escalares de \( \vec{r}\), medidas em metros [m] .
• \(\frac{dx}{dt}\) → derivada da componente escalar de \(\vec{r}\), no eixo x, em relação ao tempo.
• \(\frac{dy}{dt}\) → derivada da componente escalar de \(\vec{r}\), no eixo y, em relação ao tempo.
• \(\frac{dz}{dt}\) → derivada da componente escalar de \(\vec{r}\), no eixo z, em relação ao tempo.

→ Aceleração vetorial

A aceleração média pode ser calculada pela fórmula:

\(\vec{a}_{média}=\frac{{\vec{v}}_f-{\vec{v}}_i}{t_f-t_i}\)

• \(\vec{v}_{média}\) → vetor aceleração média, medido em metros por segundo ao quadrado [m/s²] ;
• \({\vec{v}}_f \) → vetor velocidade no ponto final, medido em metros [m] .
• \({\vec{v}}_i\) → vetor velocidade no ponto inicial, medido em metros [m] .
• \(t_f\) → tempo final, medido em segundos [s] .
• \(t_i \) → tempo inicial, medido em segundos [s] .

Já a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) pode ser calculada pela fórmula:

\(\vec{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}\)

• \(\vec{a} \) → aceleração instantânea, medida em metros por segundo [m/s] .
• \(a_x, a_y, a_z\) → componentes escalares de \(\vec{a}\), medidas em metros por segundo ao quadrado [m/s²] .

Em que:

\(a_x=\frac{{dv}_x}{dt}\)

\(a_y=\frac{{dv}_y}{dt}\)

\(a_z=\frac{dv_z}{dt}\)

• \(a_x, a_y, a_z\)  → componentes escalares de \(\vec{a}\), medidas em metros por segundo ao quadrado [m/s²] .
• \(v_x, v_y, v_z\)  → componentes escalares de \(\vec{v}\), medidas em metros por segundo [m/s] .
• \(\frac{{dv}_x}{dt} \) → derivada da componente escalar de \(\vec{v}\), no eixo x, em relação ao tempo.
• \(\frac{{dv}_y}{dt}\)  → derivada da componente escalar de \(\vec{v}\), no eixo y, em relação ao tempo.
• \(\frac{dv_z}{dt}\)  → derivada da componente escalar de \(\vec{v}\), no eixo z, em relação ao tempo.

Cálculo da cinemática vetorial

Na cinemática vetorial, calculamos deslocamento, velocidade e aceleração vetorial por meio das suas fórmulas. Abaixo selecionamos alguns exemplos de cálculos de deslocamento, velocidade e aceleração vetorial.

→ Cálculo do deslocamento vetorial

Veja, a seguir, um exemplo de cálculo de deslocamento vetorial, um dos cálculos da cinemática vetorial.

Exemplo:

Considere que uma partícula está inicialmente na posição \(\vec{r_i}=(-1,0\ m)\hat{i}+(4,0\ m)\hat{j}+(2,0)\hat{k}\) e depois passa para a posição \(\vec{r_f}=(2,0\ m)\hat{i}+(-1,0\ m)\hat{j}+(8,0)\hat{k}\). Qual é o deslocamento da partícula \(\Delta\vec{r}\) de \(\vec{r_i}\) para \(\vec{r_f}\)?

Resolução:

Calcularemos o deslocamento da partícula por meio da sua fórmula:

\(\Delta\vec{r}={\vec{r}}_f-{\vec{r}}_i\)

\(\Delta\vec{r}=\left[(2,0\ m)\hat{i}+(-1,0\ m)\hat{j}+(8,0)\hat{k}\right]-\left[(-1,0\ m)\hat{i}+(4,0\ m)\hat{j}+(2,0)\hat{k}\right]\)

\(\Delta\vec{r}=\left[2,0-\left(-1,0\right)\right]\hat{i}+\left[-1,0-4,0\right]\hat{j}+\left[8,0-2,0\right]\hat{k}\)

\(\Delta\vec{r}=(3,0\ m)\hat{i}+(-5,0\ m)\hat{j}+(6,0\ m)\hat{k}\)

→ Cálculo da velocidade vetorial

Veja, a seguir, um exemplo de cálculo da velocidade vetorial, um dos cálculos da cinemática vetorial.

Exemplo:

Determine a velocidade vmédia  de uma partícula que teve um deslocamento de  no instante t=7 s .

Resolução:

Calcularemos a velocidade média por meio da sua fórmula:

\(\vec{V}_{média}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\)

\(\vec{V}_{média}=\frac{(21\ m)\ \hat{i}+(-7\ m)\ \hat{j}\ (14\ m)\ \hat{k}}{7}\)

\(\vec{V}_{média}=(3\ m/s)\ \hat{i}=(-1\ m/s)\ \hat{j}+(2\ m/s)\ \hat{k}\)

→ Cálculo da aceleração vetorial

Veja, a seguir, um exemplo de cálculo da aceleração vetorial, um dos cálculos da cinemática vetorial.

Exemplo:

Determine a aceleração amédia  de uma partícula que se desloca em uma velocidade de \((4\ m/s)\hat{i}+(-2\ m/s)\hat{j}+(9\ m/s)\hat{k} \) no instante t=2 s.

Resolução:

Calcularemos a aceleração média por meio da sua fórmula:

\(\vec{a}_{média}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\)

\(\vec{a}_{média}=\frac{(4\ m/s)\ \hat{i}+(-2\ m/s)\ \hat{j}+(9\ m/s)\ \hat{k}}{ 2}\)

\(\vec{a}_{média}=(2\ m/s^2)\ \hat{i}+(-1\ m/s^2)\ \hat{j}+(4,5\ m/s^2)\ \hat{k}\)

Veja também: Dicas importantes para resolver exercícios de cinemática

Composição de movimentos

Na composição de movimentos, fazemos uma análise de movimentos que ocorrem simultaneamente, mas em orientações diferentes (sentido e/ou direção diferentes), contudo, são observados como um único movimento. A análise da composição de movimentos faz-se necessária principalmente no estudo da cinemática vetorial, do lançamento oblíquo e da velocidade relativa, em que a direção e o sentido do movimento interferem no resultado.

A direção, o sentido e o módulo do vetor resultante (deslocamento, velocidade ou aceleração resultante) na composição de movimentos variam com a direção, o sentido e o ângulo entre os vetores.

→ Vetores com mesma direção e mesmo sentido

Quando temos uma situação em que os vetores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) de um corpo possuem a mesma direção e o mesmo sentido, como na imagem à esquerda, o vetor resultante é dado pela somatória desses vetores, resultando na imagem à direita.

\(\vec{R}=\ \vec{a}+\vec{b}\)

Nesse caso, a direção e o sentido do vetor resultante são os mesmos dos vetores que o originaram.

→ Vetores em uma mesma direção, mas com sentidos opostos

Quando temos uma situação em que os vetores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) de um corpo possuem a mesma direção, mas sentidos opostos, como na imagem à esquerda, o módulo do vetor resultante é calculado pela subtração dos vetores que o originaram, a sua direção é a mesma dos vetores que o originaram, e o seu sentido é o mesmo do vetor de maior valor numérico, resultando na imagem à direita.

\(\vec{R}=\ \vec{a}-\vec{b}\)

→ Vetores perpendiculares

Quando temos uma situação em que os vetores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) de um corpo são perpendiculares, ou seja, possuem sentidos e direções opostos e um ângulo de 90º entre eles, como na imagem à esquerda, o módulo do vetor resultante é calculado pelo teorema de Pitágoras e a sua direção e sentido são dados pela regra do paralelogramo (pontilhados), resultando na imagem à direita.

\(hipotenusa=\sqrt{{{cateto}_1}^2+{{cateto}_2}^2}\)

\(\vec{R}=\sqrt{a^2+b^2}\)

→ Vetores oblíquos

Quando temos uma situação em que os vetores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) de um corpo são oblíquos, ou seja, possuem sentidos e direções opostos e ângulos diferentes de 0° , 90° , 180° , 270°  ou 360°  entre eles, como na imagem à esquerda, o módulo do vetor resultante é calculado pela lei dos cossenos e a sua direção e sentido são dados pela regra do paralelogramo (pontilhados), resultando na imagem à direita.

\(hipotenusa=\sqrt{{{cateto}_1}^2+{{cateto}_2}^2-2\cdot{cateto}_1\cdot{cateto}_2\cdot\cos{\theta}}\)

\(\vec{R}=\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos{\theta}}\)

Diferenças entre cinemática vetorial e cinemática escalar

A cinemática vetorial e a cinemática escalar são ramos da cinemática que investigam o movimento dos corpos:

• Cinemática vetorial: nela investigamos o movimento dos corpos de maneira vetorial, ou seja, considerando a direção, o sentido e o módulo das grandezas vetoriais.
• Cinemática escalar: nela investigamos o movimento dos corpos, sem considerar a direção e o sentido das grandezas físicas vetoriais.

Exercícios resolvidos sobre cinemática vetorial

Questão 1

(Fatec) Um automóvel percorre 6,0 km para o norte e, em seguida, 8,0 km para o leste. A intensidade do vetor posição, em relação ao ponto de partida, é:

A) 10 km

B) 14 km

C) 2,0 km

D) 12 km

E) 8,0 km

Resolução:

Alternativa A

Nesse caso temos uma composição de movimentos, então calcularemos a intensidade do vetor posição por meio do teorema de Pitágoras:

\({hipotenusa}^2={{cateto}_1}^2+{{cateto}_2}^2\)

\({hipotenusa}^2=6^2+8^2\)

\({hipotenusa}^2=36+64\)

\({hipotenusa}^2=100\)

\(hipotenusa=\sqrt{100}\)

\(hipotenusa=10\ km\)

Questão 2

(PUC) Se a velocidade vetorial de um ponto material é constante e não nula, sua trajetória:

A) é uma parábola.

B) pode ser retilínea, mas não necessariamente.

C) deve ser retilínea.

D) é uma circunferência.

E) pode ser uma curva qualquer.

Resolução:

Alternativa C

Considerando a velocidade vetorial constante e não nula, a sua trajetória será retilínea, já que a velocidade vetorial terá a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo em todos os pontos.