Whatsapp icon Whatsapp

Cinemática vetorial

A cinemática vetorial é a parte da cinemática, um dos ramos da mecânica clássica, que analisa de maneira vetorial a posição, a velocidade e a aceleração dos corpos.
Ilustração mostrando carros em movimento, situação analisada de forma vetorial pela cinemática vetorial.
O movimento vetorial dos corpos é estudado na cinemática vetorial.

A cinemática vetorial é a parte da cinemática, um dos ramos da mecânica clássica, responsável pelo estudo do movimento dos corpos considerando as características vetoriais (módulo, direção e sentido) das grandezas físicas vetoriais, sem levar em consideração a razão que provocou o seu movimento.

Leia também: Quais são os conceitos básicos da cinemática?

Resumo sobre cinemática vetorial

  • A cinemática vetorial é a parte da cinemática, um dos ramos da mecânica clássica, que analisa de maneira vetorial a posição, a velocidade e a aceleração dos corpos.

  • O deslocamento vetorial é a descrição em notação vetorial da alteração de posição de um corpo.

  • A velocidade vetorial é a descrição em notação vetorial da variação de posição de um corpo em um intervalo de tempo.

  • A aceleração vetorial é a descrição em notação vetorial da variação de velocidade em um intervalo de tempo.

  • A composição de movimentos é uma análise de movimentos que se sucedem ao mesmo tempo e inclusive são observados como um só; contudo, eles ocorrem em diferentes direções e/ou diferentes sentidos.

  • Enquanto na cinemática vetorial levamos em conta o módulo, a direção e o sentido das grandezas vetoriais, na cinemática escalar não levamos em conta essas características vetoriais.

O que é cinemática vetorial?

A cinemática vetorial é a parte da cinemática, um dos ramos da mecânica clássica, responsável pela investigação do movimento dos corpos em termos de vetores. Por isso, faz-se necessário considerar a orientação (sentido e direção) e o módulo grandezas físicas vetoriais, como o deslocamento, a velocidade e a aceleração.

As grandezas físicas escalares, tanto na cinemática vetorial quanto na cinemática escalar, são descritas apenas em termos do seu módulo, não necessitando do formalismo vetorial.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Deslocamento vetorial

O deslocamento vetorial diz respeito à variação de posição realizada por um corpo levando em consideração a sua direção, o seu sentido e o seu módulo; diferentemente do deslocamento escalar (ou só deslocamento), que leva em consideração apenas o seu módulo.

Velocidade e aceleração vetorial

A velocidade vetorial diz respeito à variação de posição realizada por um corpo em um intervalo de tempo, levando em consideração a sua direção, o seu sentido e o seu módulo.

Já a aceleração vetorial diz respeito à variação de velocidade de um corpo em um período, também levando em consideração a sua direção, o seu sentido e o seu módulo.

Fórmulas da cinemática vetorial

→ Deslocamento vetorial

Na notação de vetores unitários, \(\vec{r}\) pode ser escrito como:

\(\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)

  • \(\vec{r}\) → vetor posição, que conecta um ponto de referência (em geral da origem de um sistema de coordenadas) à partícula, medido em metros [m] .
  • \(x\hat{i}, y\hat{j}, z\hat{k}\)  → componentes vetoriais do vetor posição.
  • \(x, y, z\)  → componentes escalares do vetor posição, medidas em metros [m] .

\(\vec{∆r}=\ \vec{r_f}+\vec{r_i}\)

  • \(\vec{∆r}\)  → vetor deslocamento da partícula, medido em metros [m] .
  • \(\vec{r_f}\)  → vetor posição no ponto final, medido em metros [m] .
  • \(\vec{r_i}\)  → vetor posição no ponto inicial, medido em metros [m] .

Usando a notação de vetores unitários, \(\vec{∆r}\) pode ser representado como:

\(∆\vec{r}=\left(x_f\hat{i}+y_f\hat{j}+z_f\hat{k}\right)-\left(x_i\hat{i}+y_i\hat{j}+z_i\hat{k}\right)\)

\(∆\vec{r}=\left(x_f-x_i\right)\hat{i}+\left(y_f-y_i\right)\hat{j}+(z_f-z_i)\hat{k}\)

  • \(x_i,\ y_i,\ z_i\)  → coordenadas que correspondem ao vetor posição \({\vec{r}}_i\), medidas em metros [m] .
  • \(x_f,\ y_f,\ z_f\)  → coordenadas que correspondem ao vetor posição \({\vec{r}}_f\), medidas em metros [m] .

Podemos escrever o vetor deslocamento em termos da variação (∆):

\(∆\vec{r}=∆x\hat{i}+∆y\hat{j}+∆z\hat{k}\)

  • ∆x , ∆y  e ∆z  → variações entre os vetores posição \({\vec{r}}_f\) e \({\vec{r}}_i\), medidas em metros [m] .

→ Velocidade vetorial

A velocidade média pode ser calculada pela fórmula:

\(\vec{v}_{média}=\frac{{\vec{r}}_f-{\vec{r}}_i}{t_f-t_i}\)

  •  \(\vec{v}_{média}\) → vetor velocidade média, medido em metros por segundo \([m/s]\)
  • \({\vec{r}}_f\) → vetor posição no ponto final, medido em metros [m] .
  • \({\vec{r}}_i\) → vetor posição no inicial, medido em metros [m] .
  • \(t_f\) → tempo final, medido em segundos [s] .
  • \(t_i\) → tempo inicial, medido em segundos [s] .

Já a velocidade instantânea (ou simplesmente velocidade) pode ser calculada pela fórmula:

\(\vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}\)

  • \(\vec{v} \) → velocidade instantânea, medida em metros por segundo [m/s] .
  • \(v_x, v_y, v_z\)  → componentes escalares de v , medidas em metros por segundo [m/s] .

Em que:

\(v_x=\frac{dx}{dt}\)

\(v_y=\frac{dy}{dt}\)

\(v_z=\frac{dz}{dt}\)

  • \(v_x, v_y, v_z\) → componentes escalares de \(\vec{v}\), medidas em metros por segundo [m/s] .
  • \(x,y,z\)  → componenetes escalares de \( \vec{r}\), medidas em metros [m] .
  • \(\frac{dx}{dt}\) → derivada da componente escalar de \(\vec{r}\), no eixo x, em relação ao tempo.
  • \(\frac{dy}{dt}\) → derivada da componente escalar de \(\vec{r}\), no eixo y, em relação ao tempo.
  • \(\frac{dz}{dt}\) → derivada da componente escalar de \(\vec{r}\), no eixo z, em relação ao tempo.

→ Aceleração vetorial

A aceleração média pode ser calculada pela fórmula:

\(\vec{a}_{média}=\frac{{\vec{v}}_f-{\vec{v}}_i}{t_f-t_i}\)

  • \(\vec{v}_{média}\) → vetor aceleração média, medido em metros por segundo ao quadrado [m/s2] ;
  • \({\vec{v}}_f \) → vetor velocidade no ponto final, medido em metros [m] .
  • \({\vec{v}}_i\) → vetor velocidade no ponto inicial, medido em metros [m] .
  • \(t_f\) → tempo final, medido em segundos [s] .
  • \(t_i \) → tempo inicial, medido em segundos [s] .

Já a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) pode ser calculada pela fórmula:

\(\vec{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}\)

  • \(\vec{a} \) → aceleração instantânea, medida em metros por segundo [m/s] .
  • \(a_x, a_y, a_z\) → componentes escalares de \(\vec{a}\), medidas em metros por segundo ao quadrado [m/s2] .

Em que:

\(a_x=\frac{{dv}_x}{dt}\)

\(a_y=\frac{{dv}_y}{dt}\)

\(a_z=\frac{dv_z}{dt}\)

  • \(a_x, a_y, a_z\)  → componentes escalares de \(\vec{a}\), medidas em metros por segundo ao quadrado [m/s2] .
  • \(v_x, v_y, v_z\)  → componentes escalares de \(\vec{v}\), medidas em metros por segundo [m/s] .
  • \(\frac{{dv}_x}{dt} \) → derivada da componente escalar de \(\vec{v}\), no eixo x, em relação ao tempo.
  • \(\frac{{dv}_y}{dt}\)  → derivada da componente escalar de \(\vec{v}\), no eixo y, em relação ao tempo.
  • \(\frac{dv_z}{dt}\)  → derivada da componente escalar de \(\vec{v}\), no eixo z, em relação ao tempo.

Cálculo da cinemática vetorial

Na cinemática vetorial, calculamos deslocamento, velocidade e aceleração vetorial por meio das suas fórmulas. Abaixo selecionamos alguns exemplos de cálculos de deslocamento, velocidade e aceleração vetorial.

→ Cálculo do deslocamento vetorial

Veja, a seguir, um exemplo de cálculo de deslocamento vetorial, um dos cálculos da cinemática vetorial.

Exemplo:

Considere que uma partícula está inicialmente na posição \(\vec{r_i}=(-1,0\ m)\hat{i}+(4,0\ m)\hat{j}+(2,0)\hat{k}\) e depois passa para a posição \(\vec{r_f}=(2,0\ m)\hat{i}+(-1,0\ m)\hat{j}+(8,0)\hat{k}\). Qual é o deslocamento da partícula \(\Delta\vec{r}\) de \(\vec{r_i}\) para \(\vec{r_f}\)?

Resolução:

Calcularemos o deslocamento da partícula por meio da sua fórmula:

\(\Delta\vec{r}={\vec{r}}_f-{\vec{r}}_i\)

\(\Delta\vec{r}=\left[(2,0\ m)\hat{i}+(-1,0\ m)\hat{j}+(8,0)\hat{k}\right]-\left[(-1,0\ m)\hat{i}+(4,0\ m)\hat{j}+(2,0)\hat{k}\right]\)

\(\Delta\vec{r}=\left[2,0-\left(-1,0\right)\right]\hat{i}+\left[-1,0-4,0\right]\hat{j}+\left[8,0-2,0\right]\hat{k}\)

\(\Delta\vec{r}=(3,0\ m)\hat{i}+(-5,0\ m)\hat{j}+(6,0\ m)\hat{k}\)

→ Cálculo da velocidade vetorial

Veja, a seguir, um exemplo de cálculo da velocidade vetorial, um dos cálculos da cinemática vetorial.

Exemplo:

Determine a velocidade vmédia  de uma partícula que teve um deslocamento de  no instante t=7 s .

Resolução:

Calcularemos a velocidade média por meio da sua fórmula:

\(\vec{V}_{média}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\)

\(\vec{V}_{média}=\frac{(21\ m)\ \hat{i}+(-7\ m)\ \hat{j}\ (14\ m)\ \hat{k}}{7}\)

\(\vec{V}_{média}=(3\ m/s)\ \hat{i}=(-1\ m/s)\ \hat{j}+(2\ m/s)\ \hat{k}\)

→ Cálculo da aceleração vetorial

Veja, a seguir, um exemplo de cálculo da aceleração vetorial, um dos cálculos da cinemática vetorial.

Exemplo:

Determine a aceleração amédia  de uma partícula que se desloca em uma velocidade de \((4\ m/s)\hat{i}+(-2\ m/s)\hat{j}+(9\ m/s)\hat{k} \) no instante t=2 s.

Resolução:

Calcularemos a aceleração média por meio da sua fórmula:

\(\vec{a}_{média}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\)

\(\vec{a}_{média}=\frac{(4\ m/s)\ \hat{i}+(-2\ m/s)\ \hat{j}+(9\ m/s)\ \hat{k}}{ 2}\)

\(\vec{a}_{média}=(2\ m/s^2)\ \hat{i}+(-1\ m/s^2)\ \hat{j}+(4,5\ m/s^2)\ \hat{k}\)

Veja também: Dicas importantes para resolver exercícios de cinemática

Composição de movimentos

Na composição de movimentos, fazemos uma análise de movimentos que ocorrem simultaneamente, mas em orientações diferentes (sentido e/ou direção diferentes), contudo, são observados como um único movimento. A análise da composição de movimentos faz-se necessária principalmente no estudo da cinemática vetorial, do lançamento oblíquo e da velocidade relativa, em que a direção e o sentido do movimento interferem no resultado.

A direção, o sentido e o módulo do vetor resultante (deslocamento, velocidade ou aceleração resultante) na composição de movimentos variam com a direção, o sentido e o ângulo entre os vetores.

→ Vetores com mesma direção e mesmo sentido

Quando temos uma situação em que os vetores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) de um corpo possuem a mesma direção e o mesmo sentido, como na imagem à esquerda, o vetor resultante é dado pela somatória desses vetores, resultando na imagem à direita.

Vetores de mesma direção e de mesmo sentido, relacionados à composição de movimentos, necessária à cinemática vetorial.
Vetores de mesma direção e de mesmo sentido.

\(\vec{R}=\ \vec{a}+\vec{b}\)

Nesse caso, a direção e o sentido do vetor resultante são os mesmos dos vetores que o originaram.

→ Vetores em uma mesma direção, mas com sentidos opostos

Quando temos uma situação em que os vetores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) de um corpo possuem a mesma direção, mas sentidos opostos, como na imagem à esquerda, o módulo do vetor resultante é calculado pela subtração dos vetores que o originaram, a sua direção é a mesma dos vetores que o originaram, e o seu sentido é o mesmo do vetor de maior valor numérico, resultando na imagem à direita.

Vetores de mesma direção e de sentidos diferentes, relacionados à composição de movimentos, necessária à cinemática vetorial.
Vetores de mesma direção e de sentidos diferentes.

\(\vec{R}=\ \vec{a}-\vec{b}\)

→ Vetores perpendiculares

Quando temos uma situação em que os vetores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) de um corpo são perpendiculares, ou seja, possuem sentidos e direções opostos e um ângulo de 90º entre eles, como na imagem à esquerda, o módulo do vetor resultante é calculado pelo teorema de Pitágoras e a sua direção e sentido são dados pela regra do paralelogramo (pontilhados), resultando na imagem à direita.

Vetores perpendiculares, relacionados à composição dos movimentos, necessária à cinemática vetorial.
Vetores perpendiculares.

\(hipotenusa=\sqrt{{{cateto}_1}^2+{{cateto}_2}^2}\)

\(\vec{R}=\sqrt{a^2+b^2}\)

→ Vetores oblíquos

Quando temos uma situação em que os vetores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) de um corpo são oblíquos, ou seja, possuem sentidos e direções opostos e ângulos diferentes de , 90° , 180° , 270°  ou 360°  entre eles, como na imagem à esquerda, o módulo do vetor resultante é calculado pela lei dos cossenos e a sua direção e sentido são dados pela regra do paralelogramo (pontilhados), resultando na imagem à direita.

Vetores oblíquos, relacionados à composição dos movimentos, necessária à cinemática vetorial.
Vetores oblíquos.

\(hipotenusa=\sqrt{{{cateto}_1}^2+{{cateto}_2}^2-2\cdot{cateto}_1\cdot{cateto}_2\cdot\cos{\theta}}\)

\(\vec{R}=\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos{\theta}}\)

Diferenças entre cinemática vetorial e cinemática escalar

A cinemática vetorial e a cinemática escalar são ramos da cinemática que investigam o movimento dos corpos:

  • Cinemática vetorial: nela investigamos o movimento dos corpos de maneira vetorial, ou seja, considerando a direção, o sentido e o módulo das grandezas vetoriais.
  • Cinemática escalar: nela investigamos o movimento dos corpos, sem considerar a direção e o sentido das grandezas físicas vetoriais.

Exercícios resolvidos sobre cinemática vetorial

Questão 1

(Fatec) Um automóvel percorre 6,0 km para o norte e, em seguida, 8,0 km para o leste. A intensidade do vetor posição, em relação ao ponto de partida, é:

A) 10 km

B) 14 km

C) 2,0 km

D) 12 km

E) 8,0 km

Resolução:

Alternativa A

Nesse caso temos uma composição de movimentos, então calcularemos a intensidade do vetor posição por meio do teorema de Pitágoras:

\({hipotenusa}^2={{cateto}_1}^2+{{cateto}_2}^2\)

\({hipotenusa}^2=6^2+8^2\)

\({hipotenusa}^2=36+64\)

\({hipotenusa}^2=100\)

\(hipotenusa=\sqrt{100}\)

\(hipotenusa=10\ km\)

Questão 2

(PUC) Se a velocidade vetorial de um ponto material é constante e não nula, sua trajetória:

A) é uma parábola.

B) pode ser retilínea, mas não necessariamente.

C) deve ser retilínea.

D) é uma circunferência.

E) pode ser uma curva qualquer.

Resolução:

Alternativa C

Considerando a velocidade vetorial constante e não nula, a sua trajetória será retilínea, já que a velocidade vetorial terá a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo em todos os pontos.

Publicado por Pâmella Raphaella Melo

Artigos Relacionados

Conceitos básicos de Cinemática
Clique aqui para conhecer alguns conceitos básicos de Cinemática!
Diagrama horário do MUV
Você consegue entender os gráficos do movimento uniformemente variado? Esse movimento surge quando a velocidade de um móvel muda de forma constante: aumentando ou diminuindo em função do tempo. Entender os gráficos desse tipo de movimento é fácil e bastante útil para a resolução de exercícios.
Equação de Torricelli
Conheça a equação de Torricelli, importante análise feita sobre o movimento uniformemente variado por não apresentar dependência do intervalo de tempo.
Movimento acelerado e retardado
Você sabe qual é a diferença entre movimento acelerado e movimento retardado? Clique aqui e conheça um pouco sobre essa classificação.
Movimento progressivo e retrógrado
Você sabe identificar se um movimento é progressivo ou retrógrado? Clique aqui e conheça essas classificações dos movimentos!
Movimento uniforme
Você sabe como funciona o movimento uniforme? Saiba mais sobre esse movimento sem aceleração que ocorre ao longo de uma linha reta. Aprenda a classificar um movimento uniforme em progressivo e retrógrado e também a determinar a função horária da posição no MU. Confira também exercícios resolvidos sobre o assunto!
Movimento uniformemente variado (MUV)
Clique aqui, saiba o que é o movimento uniformemente variado (MUV), conheça suas fórmulas, descubra quais são seus tipos e entenda seus gráficos.
Posição e deslocamento
A física é uma ciência fundamental que se preocupa com a compreensão dos fenômenos naturais. Veja aqui o conceito de posição e deslocamento.
Velocidade escalar média
Você sabe o que é velocidade escalar média? Aprenda a fórmula da velocidade escalar média e descubra como calculá-la. Saiba mais com exercícios resolvidos.
Velocidade vetorial
Entenda o que é velocidade vetorial, aprenda a diferenciá-la da velocidade escalar e confira exercícios envolvendo o tema.
video icon
Escrito"Triângulo das Bermudas" sobre representação da agitação das águas da região do Triângulo das Bermudas.
Geografia
Triângulo das Bermudas
Conheça as características e principais teorias que tentam explicar os fenômenos ocorridos no misterioso Triângulo das Bermudas.