Área do prisma

Se α e β são planos do espaço tridimensional, então o Prisma é um sólido geométrico definido como o conjunto de segmentos de retas paralelos que têm início em algum polígono do plano α e findam no plano β.

Para que essa definição seja válida, é necessário que o plano α seja paralelo ao plano β. Dessa maneira, as faces do prisma contidas nos planos citados – chamadas de bases – são polígonos congruentes e as faces laterais são paralelogramos. O cálculo da área do prisma depende do formato de suas bases, mas, em resumo, pode ser realizado somando-se a área das bases e as áreas laterais.

Primeiramente, discutiremos o cálculo da área das bases do prisma; posteriormente, a área lateral e, por fim, sua área total.

Área das bases do Prisma

Todo prisma possui duas bases iguais. Esse resultado decorre de sua definição, assim como aquela que garante que suas faces laterais são paralelogramos. O cálculo da área dessas duas bases depende de seu formato e deve ser realizado exatamente da maneira que é feito na Geometria Plana.

Se as bases forem triangulares, utilize a área do triângulo:

A_t = b·h
       2

Prisma cujas bases são triângulos

Se forem paralelogramos, a fórmula para o cálculo é:

A_p = b·h

Prisma cujas bases são paralelogramos

Se as bases forem quadriláteros quaisquer ou polígonos com um número maior de lados, escolha um vértice e trace todas as diagonais do polígono que partam dele. Esse procedimento dividirá o polígono em triângulos, cuja fórmula para o cálculo da área é conhecida. Calculando a área dos triângulos, basta somá-las.

As diagonais que partem de um único vértice dividem um polígono em triângulos

A área total das bases de um prisma (A_b) é igual a duas vezes a área de uma de suas bases, uma vez que as bases de um mesmo prisma são congruentes.

Área lateral do prisma

As faces laterais de um prisma sempre serão paralelogramos, pois suas extremidades superior e inferior estão em planos paralelos e suas extremidades laterais são, por definição, segmentos paralelos.

A área do paralelogramo é calculada pela seguinte fórmula:

A_p = b·h

Com b = base e h = altura do paralelogramo.

A área lateral do prisma pode ser calculada pela seguinte fórmula:

A_l = n·A_p

*n é o número de lados de uma das bases. Isso acontece porque o número de lados de uma das bases é justamente o número de faces laterais do prisma. A fórmula acima também pode ser escrita na forma expandida seguinte:

A_l = n·b·h

Área total do prisma

Para calcular a área total de um prisma, basta somar a área de suas bases e a área lateral. Não existe uma fórmula geral para essa soma, pois o número de faces de um prisma é variável e não existem fórmulas para áreas de polígonos que possuem mais de quatro lados. Entretanto, exibiremos uma expressão para simbolizar esse cálculo e escreveremos as fórmulas específicas para os casos de prismas triangulares cujas bases são paralelogramos.

A área do prisma pode ser lembrada pela expressão:

A = 2A_b + A_l

A_b é a área de uma das bases e A_l é a área lateral.

Área do prisma triangular

Para o prisma triangular, a fórmula da área é:

A = 2·b·h₁ + 3·b·h
2      

A = b·h₁ + 3·b·h

A = b(h₁ + 3h)

• b = medida da base do triângulo e aresta do prisma que também pertence a uma de suas faces laterais;

• h₁ = altura do triângulo;

• h = altura do prisma, conforme retrata a figura a seguir:

Prisma com destaque para as medidas de h, h₁ e b

Área do prisma cuja base é um paralelogramo

Essa área pode ser calculada pela fórmula seguinte:

A = 2·b·h₁ + 4·b·h

A = 2b(h₁ + 2h)

• b é a largura da base do prisma e é a mesma medida para a largura da face lateral;

• h₁ é o comprimento da base do prisma;

• h é o comprimento da face lateral.

Essas medidas podem ser encontradas na imagem abaixo:

Prisma com destaque para as medidas de h, h₁ e b