Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma fórmula que nos permite relacionar as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Nessa figura geométrica, os lados perpendiculares são conhecidos como catetos, e o lado oposto ao ângulo de 90º é conhecido como hipotenusa.

Esse teorema mostra que a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa. Ele é muito importante para o estudo da Matemática, auxiliando no desenvolvimento da geometria. Foi por meio dele que os matemáticos buscaram compreender melhor os números irracionais.

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Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?

Dado um triângulo retângulo, os lados perpendiculares são conhecidos como catetos, e o maior lado, que sempre está de forma oposta ao ângulo de reto, é conhecido como hipotenusa.

a → hipotenusa
b e c → catetos

O teorema de Pitágoras relaciona a medida dos catetos e da hipotenusa do triângulo por meio da seguinte expressão:

A partir dessa relação, é possível encontrar um lado do triângulo retângulo conhecendo os outros dois lados.

Exemplo 1

Calcule o valor da hipotenusa x no triângulo retângulo a seguir:

Resolução

Primeiro vamos identificar os catetos e a hipotenusa do triângulo. Note que x é a hipotenusa e que os catetos medem 7 cm e 24 cm. Então, temos que:

a² = b² + c²
x² = 7² + 24²
x² = 49 + 576
x² = 625
x = √625
x = 25 cm

Exemplo 2

Calcule o valor do cateto b no triângulo a seguir:

Resolução

Primeiro vamos identificar a medida dos catetos e da hipotenusa.

• Hipotenusa: 10 cm.

• Catetos: b e 8 cm.

Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

10² = b² + 8²
100 = b² + 64
100 – 64 = b²
36 = b²
b² = 36
b = √36
b = 6 cm

Demonstração do teorema de Pitágoras

A demonstração de um teorema pode ser feita de várias formas, por meio de ferramentas diferentes da Matemática. Vejamos a demonstração a seguir, que utiliza semelhança de triângulos.

Dado o triângulo ABC, queremos demonstrar que a² + b² = c². Assim, considere o triângulo ABC:

a → hipotenusa
b e c → catetos
h → altura
m → projeção de b sobre a hipotenusa
n → projeção de c sobre a hipotenusa

Podemos dividir a imagem em três triângulos semelhantes:

Comparando os triângulos ΔABC e ΔDAB, por serem semelhantes, temos que:

Por outro lado, ao comparar os triângulos ΔABC e ΔDAC, temos que:

Agora vamos somar as duas equações:

a · m + a · n = c² + b²
a·( m+n) = c² + b²

Porém, m + n = a, logo:

a · a = c² + b²
a² = c² + b²

Leia também: Classificação de triângulos — veja os tipos possíveis dessa figura

Teorema de Pitágoras e os números irracionais

Os números irracionais só foram descobertos por meio da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo de catetos medindo 1. Ao aplicar o teorema nesse triângulo, o valor encontrado para a hipotenusa foi √2.

Com esse resultado, os matemáticos buscaram encontrar o valor da √2 e perceberam a existência das dízimas não periódicas, o que possibilitou a criação de um novo conjunto numérico, já que, até o momento, o conjunto dos números racionais contemplava somente os números que podem ser representados como frações.

Na tentativa de provar que √2 poderia ser escrito como uma fração, percebeu-se o contrário, ou seja, que existem números que não podem ser representados como uma fração, que são aqueles cuja representação decimal é uma dízima periódica, como uma raiz quadrada não exata. Esses números foram classificados, então, como irracionais.

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Exercícios resolvidos

1) (IDHTEC) O teorema de Pitágoras tem sido utilizado até hoje e com muita aplicabilidade a diversas situações cotidianas. Por exemplo, se uma escada de 5 m está encostada no topo em uma parede de 4 m, dá para descobrir que o pé dessa escada está afastado 3 m da parede. Imagine agora que essa escada possua 13 m e que o pé dela esteja afastado 5 m da parede. Qual a altura do topo da parede onde a escada está encostada?

a) 12 m

b) 11 m

c) 10 m

d) 9 m

e) 8 m

Resolução:

Alternativa a.

Ao encostar a escada na parede, ela forma um triângulo retângulo conforme a imagem a seguir:

Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

• 13 m → medida da hipotenusa;

• 5 m e x → medidas dos catetos.

13² = 5² + x²
169 = 25 + x²
169 – 25 = x²
144 = x²
x=√144
x=12

2) (IFG 2019) Considere que o tamanho de uma televisão, dado em polegadas, corresponde ao comprimento da sua diagonal e que, no caso de televisores de tamanho normal, a largura e a altura seguem, ordenadamente, a relação 4:3. Observe a figura abaixo e considere 1 polegada = 2,5 cm.

Com relação a uma televisão plana de 40 polegadas, é correto afirmar que sua largura e sua altura são, respectivamente:

a) 60 cm e 45 cm.

b) 80 cm e 60 cm.

c) 64 cm e 48 cm.

d) 68 cm e 51 cm.

Resolução:

Se a proporção dos lados é 4:3, então a largura mede 4x e a altura mede 3x. Note que 40” é a medida da diagonal da televisão e que a diagonal divide a televisão em dois triângulos retângulos, logo podemos aplicar o teorema de Pitágoras.

(4x)² + (3x)² = 40²
16x² + 9x² = 1600
25x² = 1600
x² = 1600 : 25
x² = 64
x = √64
x= 8

Como os lados medem 4x e 3x, então:

4x → 4 · 8 = 32”
3x → 3 · 8 = 24”

Como 1 polegada corresponde a 2,5 cm, logo:

32 · 2,5 = 80 centímetros
24 · 2,5 = 60 centímetros