Inequações trigonométricas: cosx < k

Inequações trigonométricas são desigualdades que possuem pelo menos uma razão trigonométrica envolvendo um ângulo desconhecido. Dessa maneira, a solução de uma inequação trigonométrica é um conjunto de ângulos, geralmente apresentados na forma de arco, em radianos. Para encontrar essa solução, é necessário usar alguns conhecimentos básicos a respeito de ciclo trigonométrico, que serão discutidos a seguir.

Posteriormente, mostraremos o modo geral usada para resolver a inequação cosx < k e daremos exemplos desse tipo de inequação.

Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 un cujo centro é a origem de um plano cartesiano. Nessa construção, o eixo x é o eixo dos cossenos e o eixo y é o eixo dos senos.

Para construir um ângulo cujo seno mede “a”, devemos procurar a medida a sobre o eixo y, traçar por ela uma reta paralela ao eixo x e construir os raios formados pelos pontos de encontro entre essa reta e o ciclo. Os ângulos entre esses raios e o eixo x são aqueles cujo seno mede “a”.

Para construir um ângulo cujo cosseno mede “a”, faremos o mesmo procedimento, mas, a partir do eixo x, deve ser feita uma reta paralela ao eixo y.

Assim, relacionamos o ângulo “a” ao comprimento y do seno de a. Para relacionar essas duas medidas a um arco, basta notar que o ângulo “a” está relacionado a um arco no ciclo. A medida desse arco é dada em graus ou em radianos.

Solução da inequação cosx < k

Em primeiro lugar, é importante saber que o intervalo no qual essa inequação é válida é – 1 < k < 1, pois o ciclo trigonométrico tem raio 1 un.

Para resolver essa inequação, devemos marcar o número representado por k no ciclo trigonométrico.

Observe que, no ciclo trigonométrico, os valores menores do que k estão à esquerda dele, até o limite de – 1, que é onde a equação é definida. Como estamos procurando ângulos que podem ser marcados no ciclo, ou comprimentos de arco, o conjunto de todas as soluções possíveis está dentro do intervalo limitado pelo arco menor CD, pois todos os valores de cosseno menores do que k estão relacionados a um dos pontos desse arco.

Como o sentido no ciclo trigonométrico é anti-horário, o conjunto de soluções dessa inequação são todos os x maiores do que C e menores do que D, dados em radiano.

Exemplo

Calcule o conjunto de soluções da inequação cosx < ½.

Para iniciar a solução desse exercício, marque o ponto ½ no ciclo trigonométrico.

Observe que, marcando os ângulos relacionados ao ponto ½ do ciclo trigonométrico, temos 60º no sentido horário e 60° no sentido anti-horário. Para determinar o intervalo que soluciona a inequação, ainda falta encontrar os valores em radianos. Isso pode ser feito por regra de três:

180 = π
60       x

180x = 60π
 x = 60π
      180

 x = π
       3

No sentido horário, basta subtrair π/3 de 2π, que representa a volta completa:

2π – π = 6π – π = 5π
        3      3      3     3

Assim, o intervalo no qual se encontram as soluções da inequação cosx < ½ é:

S = {x E R| π/3 + 2kπ < x < 5π/3 + 2kπ}