Whatsapp icon Whatsapp

Inequações trigonométricas: cosx < k

As inequações trigonométricas são desigualdades cuja incógnita é um ângulo desconhecido, geralmente dado em radiano, como cosx < k.
Seno e cosseno são duas das razões trigonométricas que podem aparecer em inequações
Seno e cosseno são duas das razões trigonométricas que podem aparecer em inequações

Inequações trigonométricas são desigualdades que possuem pelo menos uma razão trigonométrica envolvendo um ângulo desconhecido. Dessa maneira, a solução de uma inequação trigonométrica é um conjunto de ângulos, geralmente apresentados na forma de arco, em radianos. Para encontrar essa solução, é necessário usar alguns conhecimentos básicos a respeito de ciclo trigonométrico, que serão discutidos a seguir.

Posteriormente, mostraremos o modo geral usada para resolver a inequação cosx < k e daremos exemplos desse tipo de inequação.

Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 un cujo centro é a origem de um plano cartesiano. Nessa construção, o eixo x é o eixo dos cossenos e o eixo y é o eixo dos senos.

Para construir um ângulo cujo seno mede “a”, devemos procurar a medida a sobre o eixo y, traçar por ela uma reta paralela ao eixo x e construir os raios formados pelos pontos de encontro entre essa reta e o ciclo. Os ângulos entre esses raios e o eixo x são aqueles cujo seno mede “a”.

Para construir um ângulo cujo cosseno mede “a”, faremos o mesmo procedimento, mas, a partir do eixo x, deve ser feita uma reta paralela ao eixo y.

Assim, relacionamos o ângulo “a” ao comprimento y do seno de a. Para relacionar essas duas medidas a um arco, basta notar que o ângulo “a” está relacionado a um arco no ciclo. A medida desse arco é dada em graus ou em radianos.

Solução da inequação cosx < k

Em primeiro lugar, é importante saber que o intervalo no qual essa inequação é válida é – 1 < k < 1, pois o ciclo trigonométrico tem raio 1 un.

Para resolver essa inequação, devemos marcar o número representado por k no ciclo trigonométrico.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Observe que, no ciclo trigonométrico, os valores menores do que k estão à esquerda dele, até o limite de – 1, que é onde a equação é definida. Como estamos procurando ângulos que podem ser marcados no ciclo, ou comprimentos de arco, o conjunto de todas as soluções possíveis está dentro do intervalo limitado pelo arco menor CD, pois todos os valores de cosseno menores do que k estão relacionados a um dos pontos desse arco.

Como o sentido no ciclo trigonométrico é anti-horário, o conjunto de soluções dessa inequação são todos os x maiores do que C e menores do que D, dados em radiano.

Exemplo

Calcule o conjunto de soluções da inequação cosx < ½.

Para iniciar a solução desse exercício, marque o ponto ½ no ciclo trigonométrico.

Observe que, marcando os ângulos relacionados ao ponto ½ do ciclo trigonométrico, temos 60º no sentido horário e 60° no sentido anti-horário. Para determinar o intervalo que soluciona a inequação, ainda falta encontrar os valores em radianos. Isso pode ser feito por regra de três:

180 = π
60       x

180x = 60π
 x = 60π
      180

 x = π
       3

No sentido horário, basta subtrair π/3 de 2π, que representa a volta completa:

2π – π = π =
        3      3      3     3

Assim, o intervalo no qual se encontram as soluções da inequação cosx < ½ é:

S = {x E R| π/3 + 2kπ < x < 5π/3 + 2kπ}

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos Relacionados

Exemplos de círculos coloridos
Círculo e circunferência
Entenda a diferença entre círculo e circunferência, além de algumas propriedades e definições básicas que envolvem essas figuras geométricas!
Ferramentas usadas para medir e construir ângulos no círculo trigonométrico
Círculo trigonométrico
Clique para aprender o que é um círculo trigonométrico, como construí-lo e o modo como o seno e o cosseno são marcados sobre ele.
Equações trigonométricas do tipo sen x = sen y e cos x = cos y
Resolvendo equações trigonométricas
Inequação exponencial
Entenda o que é uma inequação exponencial. Aprenda como resolver uma inequação exponencial. Encontre o conjunto de soluções de uma inequação exponencial.
Medidas de Arcos de Circunferência
Confira aqui as unidades de medidas de arcos de circunferência!
Plano cartesiano
Conheça o que é o plano cartesiano e qual a sua função. Saiba também como montar e marcar pontos nele.
Uma excelente ideia: aprender as propriedades da desigualdade para não errar nas inequações
Propriedades da desigualdade nas inequações
Aprenda as propriedades da desigualdade nas inequações que, juntamente à análise dos resultados, é a maior diferença entre elas e as equações.
Razões trigonométricas
Veja quais são as principais razões trigonométricas e exemplos de problemas que cobram esse tipo de conteúdo. Conheça também os ângulos notáveis.
Ângulos notáveis e alguns instrumentos que os representam
Ângulos
Clique para aprender o que são ângulos, como medi-los e algumas características dos ângulos notáveis.
video icon
Filosofia
Redes sociais – essência e aparência
As redes sociais trouxeram uma infinidade de novas possibilidades: informações rápidas e fáceis, interação social e um novo mercado de produtos e serviços. No entanto, ironicamente, as redes sociais também nos trouxeram uma série de prejuízos: informações rápidas e fáceis, interação social e um novo mercado de produtos e serviços. A partir das noções de essência e aparência na filosofia, trataremos da problemática das redes sociais, tentando entender como esse fenômeno afeta a vida das pessoas.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Sigmund Freud
Filosofia
Sigmund Freud
Nessa videoaula você conhecerá mais sobre a vida e estudos do "pai" da psicanálise.
video icon
Thumb Brasil Escola
Literatura
Realismo fantástico
Trazemos uma análise sobre realismo fantástico. Assista já!
video icon
Thumb Brasil Escola
Química
Funções orgânicas
Tire um tempo para entender melhor o que são as amidas