Propriedades da desigualdade nas inequações
As inequações são expressões algébricas que possuem uma desigualdade. Essa é a diferença básica entre equações e inequações, pois as equações possuem uma igualdade. As implicações disso são: um mesmo modo de resolver equações e inequações, uma análise de resultados diferente para ambas e algumas propriedades a mais para as inequações. Essas propriedades são o objeto de discussão deste artigo.
Antes de partir para as propriedades, vale destacar algumas diferenças entre equações e inequações.
Diferenças entre equações e inequações
As equações possuem resultado único se forem de primeiro grau (a quantidade de resultados de uma equação é igual ao seu grau). Já as inequações podem ter desde zero a infinitos resultados, dependendo do conjunto numérico e das condições em que foi definida.
Sendo assim, a análise dos resultados deve seguir padrões também diferentes. As equações respondem a perguntas que possuem resposta exata. Uma corrida de táxi, por exemplo, geralmente custa R$ 6,00 iniciais e mais R$ 4,20 por quilômetro rodado. Supondo que uma pessoa dispõe de R$ 32,00 para essa viagem, quantos quilômetros poderá andar?
A equação que representa essa situação e sua resolução são as seguintes:
4,2x + 6 = 32
4,2x = 32 – 6
4,2x = 26
x = 26
4,2
x = 6,19 km
Observe que a solução de uma equação possui resultado exato. Quantos quilômetros podem ser rodados nessas condições? Exatamente 6,19.
Já as inequações possuem resultados descritos como conjuntos. O preço de uma corrida de táxi é determinado por um valor fixo de taxa de deslocamento, que é R$ 6,00, e um valor variável que depende da quantidade de quilômetros rodados: R$ 4,20 por quilômetro. Sabendo que uma corrida foi menor que 5 km, que valor foi gasto?
Se x = quilômetros percorridos e y = preço da corrida, a inequação e sua solução são as seguintes:
y = 4,2x + 6
Se x < 5, então:
y < 4,2·5 + 6
y < 21 + 6
y < 27
Assim, o valor gasto na corrida foi inferior a R$ 27,00, mas foi superior a R$ 6,00, que é o valor mínimo cobrado. Então, o resultado é algum número com duas casas decimais entre 6 e 27.
Propriedades da desigualdade
Tendo em vista as diferenças entre equações e inequações, podemos discutir as propriedades da desigualdade.
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Somar qualquer número ou incógnita nos dois membros de uma inequação não altera o sentido da desigualdade.
Por exemplo, na inequação a seguir, devemos somar alguns números a fim de reescrevê-la com os termos que possuem incógnita no primeiro membro e os outros que não possuem no segundo.
4x – 20 > 2x + 8
4x – 20 – 2x > 2x + 8 – 2x
2x – 20 > 8
2x – 20 + 20 > 8 + 20
2x > 28
Note que o processo acima é equivalente ao descrito nos métodos práticos, em que basta trocar números de lado, desde que o seu sinal seja trocado. Fazer isso não altera o sentido da desigualdade em uma inequação.
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Subtrair qualquer número ou incógnita nos dois membros de uma inequação não altera o sentido da desigualdade.
Essa propriedade é equivalente à última e seu exemplo já foi dado ao subtrair 2x nos dois membros da última inequação.
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Multiplicar um número positivo em ambos os membros de uma inequação não altera o sentido da desigualdade.
Para exemplificar, tomemos o exemplo anterior, que foi resolvido até encontrar:
2x > 28
Para concluir a resolução, devemos multiplicar ambos os membros por 1/2, que é um número positivo e não altera a desigualdade. Observe:
1·2x > 28·1
2 2
x > 14
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Multiplicar um número negativo em ambos os membros de uma inequação inverte o sentido da desigualdade.
Essa propriedade funciona em dois casos práticos. Quando existe um número negativo que será passado para o outro lado multiplicando ou dividindo, inverte-se o sinal da desigualdade. Quando multiplicamos uma inequação por – 1, inverte-se o sinal da desigualdade.
16x – 30 > 20x + 10
16x – 20x > 10 + 30
– 4x > 40 (– 1)
4x < – 40
x < – 40
4
x < – 10