Propriedade fundamental das proporções

Uma razão é o resultado de uma divisão que pode ser indicado por meio de um número decimal, uma fração, ou pela representação usual da divisão. Quando duas razões têm como resultado um mesmo decimal, dizemos que elas formam uma proporção. Portanto, uma proporção é a igualdade entre duas razões. A propriedade fundamental das proporções garante que a igualdade entre duas razões pode ser escrita na forma de igualdade entre dois produtos.

Propriedade fundamental das proporções

Digamos que quatro números quaisquer “a”, “b”, “c” e “d” formem uma proporção, nessa ordem. Essa proporção pode ser apresentada na forma de igualdade entre razões. Se optarmos pela notação usual das divisões, teremos:

a:b = c:d

Note que os números “a” e “d” ocupam as posições extremas da igualdade, já os números “b” e “c” ocupam as posições centrais. Em razão disso, em uma proporção assim definida, “a” e “d” são chamados de extremos, e “b” e “c” são chamados de meios.

Dito isso, a propriedade fundamental das proporções é:

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Algebricamente, isso significa que:

a·d = b·c

Se a proporção estiver escrita na forma de fração, identificar extremos e meios não é uma tarefa tão simples. Entretanto, observe que a igualdade acima, obtida a partir da aplicação da propriedade fundamental das proporções, possui multiplicações em ambos os membros. É possível mudar a ordem desses fatores para obter:

d·a = c·b

Reescrevendo essa igualdade na forma de proporção, teremos:

d:c = b:a

Isso significa que as igualdades a seguir, obtidas apenas reescrevendo as duas proporções apresentadas, são equivalentes.

a = c
b    d

d = b
c    a

Além disso, também é possível trocar os membros de lugar em ambas as proporções, pois elas são igualdades. É a partir das combinações entre essas trocas que criamos as propriedades das proporções.

Uso da propriedade fundamental das proporções

Uma das maiores aplicações da propriedade fundamental das proporções é na regra de três. Quando duas grandezas são proporcionais, é possível construir uma proporção usando algumas de suas medidas. A regra de três é uma técnica usada para descobrir uma das medidas relativas a uma grandeza quando essa medida está dentro de uma proporção na qual as outras três medidas são conhecidas.

Exemplo: um automóvel desloca-se a uma velocidade de 60 km/h e consegue percorrer 180 km em determinado período de tempo. Se esse automóvel estivesse a 80 km/h, quantos quilômetros percorreria no mesmo período de tempo?

Solução: em primeiro lugar, monte uma proporção entre essas grandezas. Aconselhamos as medidas referentes à mesma grandeza ocupem a mesma fração.

180 =  x 
60     80

Usando a propriedade fundamental das proporções, podemos escrever:

180·80 = 60x

Como se trata de uma igualdade, podemos inverter a equação sem modificar seu resultado:

60x = 180·80

60x = 14400

x = 14400
      60

x = 240

Esse automóvel pode percorrer 240 km a uma velocidade de 80 km/h.