Whatsapp icon Whatsapp

Relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau

É possível obter informações sobre uma função do segundo grau, e seus respectivos cálculos, pela relação entre seus coeficientes e gráfico.
Parábolas relacionam-se com funções por meio dos coeficientes
Parábolas relacionam-se com funções por meio dos coeficientes

Uma função é considerada do segundo grau quando pode ser escrita na forma a seguir:

f(x) = ax2 + bx + c

Em que a, b e c são números reais conhecidos como coeficientes, e o coeficiente a sempre deve ser diferente de zero.

Toda função do segundo grau pode ser representada graficamente por uma parábola. Algumas das características dessa figura estão relacionadas aos valores dos coeficientes da função que ela representa, conforme veremos a seguir.

Coeficiente A e a concavidade da parábola

O coeficiente a, número real que multiplica x2, pode ser usado para indicar a concavidade da parábola da seguinte maneira:

Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

A melhor maneira de saber o que é a concavidade é observar um exemplo. Na figura a seguir, por exemplo, a concavidade da parábola à esquerda é voltada para cima, e a concavidade da figura à direita é voltada para baixo.

Portanto, na parábola à esquerda, a > 0; e, na parábola à direita, a < 0.

Além disso, o coeficiente a também é responsável pela “abertura” da parábola. Para perceber isso, considere dois pontos A e B, obtidos pela interseção de uma reta paralela ao eixo x e a parábola. Quanto maior o valor do módulo do coeficiente a, menor será a distância entre os pontos A e B, como mostra o exemplo da seguinte imagem:

Coeficiente C

O coeficiente C, em uma função do segundo grau, está relacionado ao ponto de encontro da parábola com o eixo y. Isso acontece porque qualquer ponto de encontro com o eixo y precisa necessariamente ter a coordenada x = 0. Por outro lado, se quisermos saber o ponto de encontro de uma função com o eixo x, a coordenada y é que deverá ser igual a 0.

Fazendo x igual a zero na forma geral das funções do segundo grau, o seguinte resultado será encontrado:

y = ax2 + bx + c

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

y = a02 + b0 + c

y = c

Assim, o par ordenado em que acontece o encontro entre parábola e o eixo y é: (0, c). Como os cálculos foram feitos para a forma geral das funções do segundo grau, então esse resultado é válido para todas elas.

Na função y = 2x2 – 4x + 1, por exemplo, o ponto de encontro entre o eixo y e a parábola é (0, 1), conforme mostra a imagem a seguir:

Valor do discriminante e do coeficiente A

O discriminante pode ser usado para encontrar as raízes de uma função e, para isso, basta fazer y = 0 e substituir os coeficientes da função na fórmula a seguir:

∆ = b2 – 4ac

É possível também descobrir quantas raízes reais a função possui apenas pelo resultado do discriminante. Para tanto, basta observar que:

Se ∆ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas.

Se ∆ = 0, a função possui apenas uma raiz real.

Se ∆ < 0, a função não possui raízes reais.

Dessa forma, podemos descobrir muito sobre a função tendo em mãos apenas esses conhecimentos. Como exemplo, note que, na função y = x2 – 4, o valor de ∆ é maior que zero, pois:

∆ = b2 – 4·a·c

∆ = – 4·1·(– 4)

∆ = 16

Nesse caso, o gráfico da função tocará o eixo x duas vezes.

Observe também que o coeficiente c = – 4. Portanto, o gráfico da função tocará o eixo y no ponto (0, – 4). Além disso, a concavidade da parábola dessa função é voltada para cima, assim, seu gráfico deve apresentar-se como na imagem a seguir:

Dessa maneira, com o conhecimento sobre os coeficientes, não é necessário fazer muitos cálculos para esboçar o seu respectivo gráfico. Assim, para que o esboço acima esteja completo, basta descobrir as raízes da função. Caso o coeficiente b seja diferente de zero, talvez seja necessário descobrir as coordenadas do vértice.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

O gráfico de funções do segundo grau é uma parábola
Cinco passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau
Aprenda a construir o gráfico de uma função do 2º grau em cinco passos!
Pertencem ao conjunto dos reais os número naturais, inteiros, racionais e irracionais
Conjunto dos números reais
Acesse e descubra quais são os elementos que compõem o conjunto dos números reais.
A distância entre dois pontos diz respeito ao segmento de reta que liga dois pontos em um plano cartesiano.
Distância entre dois pontos
Entenda qual é o segmento que representa a distância entre dois pontos no plano cartesiano e conheça sua fórmula para calcular essa distância.
Função do 2º grau ou função quadrática
Entenda o que é uma função quadrática e aprenda a construir o gráfico desse tipo função. Veja como calcular o vértice e as raízes dessa função.
Função exponencial
Clique aqui e conheça a função exponencial. Aprenda como fazer a análise e construir o gráfico desse tipo de função. Teste sua compreensão resolvendo os exercícios.
Gráfico: Função de 2º grau
Construção do gráfico de uma equação do 2º grau.
Função modular: representação gráfica dos valores absolutos de um número real
Módulo ou valor absoluto de um número real
Você sabia que o módulo de qualquer número real é sempre um valor positivo? Descubra por que isso ocorre.
Propriedades de uma função
Função, tipos de função, propriedade da função, função bijetora, função sobrejetora, função injetora, características de uma função, características de uma função sobrejetora, características de uma função injetora, características de uma função bijetora.
Raízes ou zero da função do 2º Grau
Determinando as condições de existência de uma Parábola.
Segmento de reta que começa em A e vai até B
Retas
Confira as principais ideias que envolvem retas e algumas propriedades básicas dessa figura geométrica!
Sinal da Função do 2º Grau
Estudando o sinal de uma função do 2º grau.
video icon
Geografia
Talibã e a retomada do poder no Afeganistão
Assista à videoaula e conheça o grupo radical fundamentalista Talibã. Entenda seu processo de formação e ascensão ao poder no Afeganistão durante a década de 1990, bem como o processo de queda do grupo e a retomada ao poder em 2021.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Videoaula Brasil Escola
Inglês
Genitive Case
É hora de aperfeiçoar sua gramática na Língua Inglesa. Assista!
video icon
Videoaula Brasil Escola
Sociologia
Democracia racial
Você sabe o que significa democracia racial? Clique e nós te ensinamos!
video icon
Tigres Asiáticos
Geografia
Tigres Asiáticos
Assista à nossa videoaula sobre os Tigres Asiáticos, e conheça as razões do desenvolvimento rápido desses territórios.