Segunda fórmula de Moivre
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A primeira fórmula de Moivre é usada para encontrar potências de números complexos escritos na forma polar. Por sua vez, a segunda fórmula de Moivre é usada para encontrar raízes de números complexos também escritos na forma polar.
Considerando o número complexo z = a + bi e o número complexo u, tal que un = z, u é chamado raiz de z. Para encontrar seu valor, podemos usar a seguinte fórmula:
Para demonstrar essa fórmula, precisamos conhecer antes a primeira fórmula de Moivre.
Primeira fórmula de Moivre
A primeira fórmula de Moivre é utilizada para potências que envolvem números complexos expressos em sua forma polar.
Dado o complexo z = p(cosθ + isenθ). A primeira fórmula de Moivre é representada por:
Demonstração da segunda fórmula de Moivre
Dado o número complexo z = a + bi, existe um número complexo u, tal que:
Nesse caso, o complexo u é chamado de raiz enésima de z.
Em sua forma polar, o número complexo z é representado da seguinte maneira:
Já o número complexo u, em sua forma polar, é representado da seguinte forma:
Sabendo que un = z e aplicando a primeira fórmula de Moivre, teremos:
Comparando as variáveis, podemos concluir que:
Das equações 4 e 5, teremos:
Para finalizar a demonstração, substitua as equações 6 e 3 na equação 2. Ao fazer isso, estamos criando um mecanismo para descobrir o número complexo u (raiz do complexo z), dado o complexo z em sua forma polar.
O valor de k deve variar de 0 até n – 1.
Exemplo
Qual é a raiz quadrada do complexo a seguir?
A raiz quadrada de um complexo é dada pela segunda fórmula de Moivre, com n = 2:
Para k = 0, teremos:
Ferramentas Brasil Escola
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