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Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2º grau

Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:

∆ > 0, duas raízes reais e distintas.
∆ = 0, uma única raiz real e distinta.
∆ < 0, nenhuma raiz real.


Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja:

Soma das raízes – (x1 + x2)
Produto das raízes – (x1 * x2)

As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:


Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.

Soma




Produto





Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.

Observe:

A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:

Soma




Produto



Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2
S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14


Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

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Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
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Lista de Exercícios

Questão 1

(Fuvest) Se m e n são raízes de x² – 6x + 10 = 0, então 1/m + 1/n vale :

a) 6

b) 2

c) 1

d) 3/5

e) 1/6

Questão 2

(Mackenzie) Sejam a e b raízes da equação x² – 3kx + k² = 0 tais que a² + b² = 1,75. O valor de é :

a) (1,75)²

b) 17,5

c) 175

d) 0,5

e) 0,25

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