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Soma e produto

A soma e o produto entre raízes reais de uma equação de 2º grau é uma estratégia utilizada para determinar os valores numéricos dessas raízes.
Quadro mostra fórmulas de soma e produto para cálculo de raízes de uma equação do 2º grau.
Soma e produto das raízes reais de uma equação de 2º grau.

A soma e o produto entre raízes de uma equação de 2º grau são expressões matemáticas que podem ser utilizadas para encontrar os valores numéricos das raízes em si. Em outras palavras, se x1 e x2 são as raízes reais de uma equação de segundo grau, sabemos quanto vale x1+x2 e x1x2 e aplicaremos esse conhecimento para encontrar os valores individuais de x1 e x2.

Essa estratégia é uma alternativa mais direta à fórmula de Bhaskara, mas cuidado: em alguns casos, o procedimento da soma e do produto não é útil na determinação das raízes. Vejamos com mais detalhes como isso acontece.

Leia também: Equações incompletas do segundo grau

Resumo sobre soma e produto

  • Soma e produto é um método para encontrar as raízes reais de uma equação do 2º grau.

  • As fórmulas para a soma e o produto são, respectivamente, ba e ca.

  • Com base nas informações da soma e do produto, tentamos deduzir as raízes.

  • Esse procedimento é recomendado para equações com coeficientes inteiros.

Quais as fórmulas da soma e produto?

Sejam x1 e x2 as raízes reais desconhecidas de uma equação de segundo grau. Pela fórmula de Bhaskara, sabemos que:

x=b+b24ac2a  e x=bb24ac2a

Assim, podemos construir as fórmulas para a soma e o produto entre x1 e x2.

  • Soma:

x1+x2=b+b24ac2a+bb24ac2a

x1+x2=ba

  • Produto:

x1x2=b+b24ac2a+bb24ac2a

x1x2=ca

Vejamos como encontrar os valores de x1 e x2 por meio das fórmulas de soma e produto.

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Como se calculam as raízes usando soma e produto?

Calcular as raízes reais de uma equação de 2º grau utilizando soma e produto envolve aplicar a teoria e exercitar um pouco de imaginação.

Exemplo: Determine (ou tente determinar) as raízes das equações de 2º grau x2x2 abaixo utilizando a técnica de soma e produto.

a) x2x2=0

Pela equação, temos que a=1, b=1 e c=2. Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

x1+x2=ba=(1)1=1

x1x2=ca=21=2

Buscamos dois números, x1 e x2, tais que a soma seja igual a 1 e o produto, igual a 2. Uma dica interessante é começar pelo produto, testando possibilidades. Nesse caso, como o produto é um número negativo, um dos fatores deve ser negativo e o outro positivo. Observe essas duas possibilidades:

x1=1 e x2=2

x1=1 e x2=2

Nos dois casos, o produto é igual a 2, como estamos procurando. Existem outros números cujo produto resulta em 2 (como 12 e 4, por exemplo), mas é mais natural iniciar esse processo de adivinhação com números menores.

Além disso, as possibilidades apresentadas são bons candidatos para os valores de x1 e x2 por conta da soma que estamos procurando: x1+x2=1. Vamos analisar nossas suposições, agora considerando a soma:

1+(2)=12=1

1+2=1

Portanto, os valores de x1 e x2, ou seja, as raízes da equação x2x2=0, são:

x1=1

x2=2

Observação: Lembre-se de que sempre podemos conferir os números encontrados ao substituir na equação.

b) x2+10x25=0

Pela equação, a=1, b=10 e c=25. Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

x1+x2=ba=10(1)=10

x1x2=ca=251=25

Buscamos dois números, x1 e x2, tais que a soma seja igual a 10 e o produto igual a 25. Com um pouco de prática, é possível identificar que há somente uma possibilidade para x1 e x2:

x1=x2=5

Observação: Uma maneira de conferir que essa equação possui somente uma raiz real é verificar que o discriminante é nulo.

c) x276x+13=0

Pela equação, a=1b=76 e c=13. Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

x1+x2=ba=(76)(1)=76

x1x2=ca=131=13

Agora, devemos nos perguntar: quais são os dois números reais cuja soma é 76 e cujo produto é 13? Perceba que a presença de coeficientes fracionários faz com que esse exemplo seja mais difícil que os anteriores.

Por conta disso, o uso da fórmula de Bhaskara é um caminho mais simples e adequado para encontrar as raízes reais dessa equação, que são:

x1=12

x2=23

d) x2+x+1=0

Pela equação, a=1, b=1 e c=1. Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

x1+x2=ba=11=1

x1x2=ca=11=1

Estamos procurando dois números tais que a soma vale 1 e o produto vale 1. Se essa situação parece ainda mais difícil que o exemplo anterior, é o momento de recorrer a Bhaskara. Primeiramente, perceba o que ocorre quando calculamos o discriminante esta equação:

Δ=b24ac=12411=3

Como o discriminante é negativo, a equação x2+x+1=0 não possui raízes reais, somente raízes complexas. Ou seja, não existem x1 e x2 reais tais que a soma seja 1 e o produto seja 1.

Conclusão: Por meio dos exemplos, podemos concluir que em algumas circunstâncias, o método da soma e do produto não é muito eficiente para a determinação das raízes reais de uma equação de 2º grau. De forma geral, esse procedimento é aconselhado para equações com coeficientes inteiros. Ainda assim, o processo de soma e produto pode ser inconclusivo, como vimos no item d) com a equação de coeficientes inteiros x2+x+1=0.

Leia também: Três passos para resolver uma equação do segundo grau

Exercícios resolvidos sobre soma e produto

Questão 1

Considere a equação 2x28x=0 e responda aos itens abaixo.

a) Qual a soma e o produto das raízes reais dessa equação?

b) Por meio da resposta anterior, determine as raízes reais da equação.

Solução:

a) Perceba que a=2, b=8 e c=0. Portanto, a soma das raízes é 4 e o produto é 0.

b) Como o produto é 0, concluímos que uma das raízes reais deve ser zero. Logo, a outra raiz real é 4 (pois a soma é 4).

Questão 2

Sejam S e P a soma e o produto, respectivamente, das raízes reais da equação x220x+75=0. Assim, podemos afirmar que

a) S + P = 100

b) S + P = 95

c) S + P = 85

d) SP=80

e) SP=75

Solução:

Alternativa B

Note que a=1, b=20 e c=75, ou seja, S = 20 e P = 75. Logo, S + P = 95.

Publicado por Maria Luiza Alves Rizzo
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