Soma e produto

A soma e o produto entre raízes de uma equação de 2º grau são expressões matemáticas que podem ser utilizadas para encontrar os valores numéricos das raízes em si. Em outras palavras, se x1 e x2 são as raízes reais de uma equação de segundo grau, sabemos quanto vale x1+x2 e x1⋅x2 e aplicaremos esse conhecimento para encontrar os valores individuais de x1 e x2.
Essa estratégia é uma alternativa mais direta à fórmula de Bhaskara, mas cuidado: em alguns casos, o procedimento da soma e do produto não é útil na determinação das raízes. Vejamos com mais detalhes como isso acontece.
Leia também: Equações incompletas do segundo grau
Resumo sobre soma e produto
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Soma e produto é um método para encontrar as raízes reais de uma equação do 2º grau.
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As fórmulas para a soma e o produto são, respectivamente, −ba e ca.
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Com base nas informações da soma e do produto, tentamos deduzir as raízes.
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Esse procedimento é recomendado para equações com coeficientes inteiros.
Quais as fórmulas da soma e produto?
Sejam x1 e x2 as raízes reais desconhecidas de uma equação de segundo grau. Pela fórmula de Bhaskara, sabemos que:
x=−b+√b2−4ac2a e x=−b−√b2−4ac2a
Assim, podemos construir as fórmulas para a soma e o produto entre x1 e x2.
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Soma:
x1+x2=−b+√b2−4ac2a+−b−√b2−4ac2a
x1+x2=−ba
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Produto:
x1⋅x2=−b+√b2−4ac2a+−b−√b2−4ac2a
x1⋅x2=ca
Vejamos como encontrar os valores de x1 e x2 por meio das fórmulas de soma e produto.
Como se calculam as raízes usando soma e produto?
Calcular as raízes reais de uma equação de 2º grau utilizando soma e produto envolve aplicar a teoria e exercitar um pouco de imaginação.
Exemplo: Determine (ou tente determinar) as raízes das equações de 2º grau x2−x−2 abaixo utilizando a técnica de soma e produto.
a) x2−x−2=0
Pela equação, temos que a=1, b=−1 e c=−2. Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:
x1+x2=−ba=−(−1)1=1
x1⋅x2=ca=−21=−2
Buscamos dois números, x1 e x2, tais que a soma seja igual a 1 e o produto, igual a −2. Uma dica interessante é começar pelo produto, testando possibilidades. Nesse caso, como o produto é um número negativo, um dos fatores deve ser negativo e o outro positivo. Observe essas duas possibilidades:
x1=1 e x2=−2
x1=−1 e x2=2
Nos dois casos, o produto é igual a −2, como estamos procurando. Existem outros números cujo produto resulta em −2 (como 12 e −4, por exemplo), mas é mais natural iniciar esse processo de adivinhação com números menores.
Além disso, as possibilidades apresentadas são bons candidatos para os valores de x1 e x2 por conta da soma que estamos procurando: x1+x2=1. Vamos analisar nossas suposições, agora considerando a soma:
1+(−2)=1−2=−1
−1+2=1
Portanto, os valores de x1 e x2, ou seja, as raízes da equação x2−x−2=0, são:
x1=−1
x2=2
Observação: Lembre-se de que sempre podemos conferir os números encontrados ao substituir na equação.
b) −x2+10x−25=0
Pela equação, a=−1, b=10 e c=−25. Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:
x1+x2=−ba=−10(−1)=10
x1⋅x2=ca=−25−1=25
Buscamos dois números, x1 e x2, tais que a soma seja igual a 10 e o produto igual a 25. Com um pouco de prática, é possível identificar que há somente uma possibilidade para x1 e x2:
x1=x2=5
Observação: Uma maneira de conferir que essa equação possui somente uma raiz real é verificar que o discriminante é nulo.
c) x2−76x+13=0
Pela equação, a=1, b=−76 e c=13. Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:
x1+x2=−ba=−(−76)(1)=76
x1⋅x2=ca=131=13
Agora, devemos nos perguntar: quais são os dois números reais cuja soma é 76 e cujo produto é 13? Perceba que a presença de coeficientes fracionários faz com que esse exemplo seja mais difícil que os anteriores.
Por conta disso, o uso da fórmula de Bhaskara é um caminho mais simples e adequado para encontrar as raízes reais dessa equação, que são:
x1=12
x2=23
d) x2+x+1=0
Pela equação, a=1, b=1 e c=1. Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:
x1+x2=−ba=−11=−1
x1⋅x2=ca=11=1
Estamos procurando dois números tais que a soma vale −1 e o produto vale 1. Se essa situação parece ainda mais difícil que o exemplo anterior, é o momento de recorrer a Bhaskara. Primeiramente, perceba o que ocorre quando calculamos o discriminante esta equação:
Δ=b2−4ac=12−4⋅1⋅1=−3
Como o discriminante é negativo, a equação x2+x+1=0 não possui raízes reais, somente raízes complexas. Ou seja, não existem x1 e x2 reais tais que a soma seja −1 e o produto seja 1.
Conclusão: Por meio dos exemplos, podemos concluir que em algumas circunstâncias, o método da soma e do produto não é muito eficiente para a determinação das raízes reais de uma equação de 2º grau. De forma geral, esse procedimento é aconselhado para equações com coeficientes inteiros. Ainda assim, o processo de soma e produto pode ser inconclusivo, como vimos no item d) com a equação de coeficientes inteiros x2+x+1=0.
Leia também: Três passos para resolver uma equação do segundo grau
Exercícios resolvidos sobre soma e produto
Questão 1
Considere a equação 2x2−8x=0 e responda aos itens abaixo.
a) Qual a soma e o produto das raízes reais dessa equação?
b) Por meio da resposta anterior, determine as raízes reais da equação.
Solução:
a) Perceba que a=2, b=−8 e c=0. Portanto, a soma das raízes é 4 e o produto é 0.
b) Como o produto é 0, concluímos que uma das raízes reais deve ser zero. Logo, a outra raiz real é 4 (pois a soma é 4).
Questão 2
Sejam S e P a soma e o produto, respectivamente, das raízes reais da equação x2−20x+75=0. Assim, podemos afirmar que
a) S + P = 100
b) S + P = 95
c) S + P = 85
d) S−P=80
e) S−P=75
Solução:
Alternativa B
Note que a=1, b=−20 e c=75, ou seja, S = 20 e P = 75. Logo, S + P = 95.
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