Soma e produto

A soma e o produto entre raízes de uma equação de 2º grau são expressões matemáticas que podem ser utilizadas para encontrar os valores numéricos das raízes em si. Em outras palavras, se \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes reais de uma equação de segundo grau, sabemos quanto vale \(x_1+x_2\) e \(x_1\cdot x_2\) e aplicaremos esse conhecimento para encontrar os valores individuais de \(x_1\) e \(x_2\).

Essa estratégia é uma alternativa mais direta à fórmula de Bhaskara, mas cuidado: em alguns casos, o procedimento da soma e do produto não é útil na determinação das raízes. Vejamos com mais detalhes como isso acontece.

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Resumo sobre soma e produto

• Soma e produto é um método para encontrar as raízes reais de uma equação do 2º grau.

• As fórmulas para a soma e o produto são, respectivamente, \(-\frac{b}{a}\ e\ \frac{c}a\).

• Com base nas informações da soma e do produto, tentamos deduzir as raízes.

• Esse procedimento é recomendado para equações com coeficientes inteiros.

Quais as fórmulas da soma e produto?

Sejam \(x_1\) e \(x_2\) as raízes reais desconhecidas de uma equação de segundo grau. Pela fórmula de Bhaskara, sabemos que:

\(x = {-b+ \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)  e \(x = {-b - \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Assim, podemos construir as fórmulas para a soma e o produto entre \(x_1\) e \(x_2\).

• Soma:

\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x_1+x_2=- \frac{b}a\)

• Produto:

\(x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}a\)

Vejamos como encontrar os valores de \(x_1\) e \(x_2\) por meio das fórmulas de soma e produto.

Como se calculam as raízes usando soma e produto?

Calcular as raízes reais de uma equação de 2º grau utilizando soma e produto envolve aplicar a teoria e exercitar um pouco de imaginação.

Exemplo: Determine (ou tente determinar) as raízes das equações de 2º grau \(x^2-x-2\) abaixo utilizando a técnica de soma e produto.

a) \( x^2-x-2=0\)

Pela equação, temos que \(a=1\), \(b=-1\) e \(c=-2\). Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

\(x_1+x_2=-\frac{b}a=-\frac{(-1)}1=1\)

\(x_1⋅x_2=\frac{c}a=\frac{-2}1=-2\)

Buscamos dois números, \(x_1\) e \(x_2\), tais que a soma seja igual a 1 e o produto, igual a \(-2\). Uma dica interessante é começar pelo produto, testando possibilidades. Nesse caso, como o produto é um número negativo, um dos fatores deve ser negativo e o outro positivo. Observe essas duas possibilidades:

\(x_1=1 \ e \ x_2=-2\)

\(x_1=-1 \ e \ x_2=2\)

Nos dois casos, o produto é igual a \(-2\), como estamos procurando. Existem outros números cujo produto resulta em \(-2\) (como \(\frac{1}2\) e \(-4\), por exemplo), mas é mais natural iniciar esse processo de adivinhação com números menores.

Além disso, as possibilidades apresentadas são bons candidatos para os valores de \(x_1\) e \(x_2\) por conta da soma que estamos procurando: \(x_1+x_2=1\). Vamos analisar nossas suposições, agora considerando a soma:

\(1+(-2)=1-2=-1\)

\(-1+2=1\)

Portanto, os valores de \(x_1\) e \(x_2\), ou seja, as raízes da equação \(x^2-x-2=0\), são:

\(x_1=-1\)

\(x_2=2\)

Observação: Lembre-se de que sempre podemos conferir os números encontrados ao substituir na equação.

b) \( -x^2+10x-25=0\)

Pela equação, \(a=-1\), \(b=10\) e \(c=-25\). Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

\(x_1+x_2=-\frac{b}a=-\frac{10}{(-1)}=10\)

\(x_1⋅x_2=\frac{c}a=\frac{-25}{-1}=25\)

Buscamos dois números, \(x_1\) e \(x_2\), tais que a soma seja igual a 10 e o produto igual a 25. Com um pouco de prática, é possível identificar que há somente uma possibilidade para \(x_1\) e \(x_2\):

\(x_1=x_2=5\)

Observação: Uma maneira de conferir que essa equação possui somente uma raiz real é verificar que o discriminante é nulo.

c) \( x^2-\frac{7}6 x+\frac{1}3=0\)

Pela equação, \(a=1\), \(b=-\frac{7}6\) e \(c=\frac{1}{3}\). Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

\(x_1+x_2=-\frac{b}a=-\frac{\left (- \frac{7}{6} \right ) }{(1)}=\frac{7}6\)

\(x_1⋅x_2=\frac{c}a=\frac{\frac{1}{3}}1=\frac{1}3\)

Agora, devemos nos perguntar: quais são os dois números reais cuja soma é \(\frac{7}6\) e cujo produto é \(\frac{1}3\)? Perceba que a presença de coeficientes fracionários faz com que esse exemplo seja mais difícil que os anteriores.

Por conta disso, o uso da fórmula de Bhaskara é um caminho mais simples e adequado para encontrar as raízes reais dessa equação, que são:

\(x_1=\frac{1}2\)

\(x_2=\frac{2}3\)

d) \( x^2+x+1=0\)

Pela equação, \(a=1\), \(b=1\) e \(c=1\). Utilizando as fórmulas de soma e produto, obtemos:

\(x_1+x_2=-\frac{b}a=-\frac{1}1=-1\)

\(x_1⋅x_2=\frac{c}a=\frac{1}1=1\)

Estamos procurando dois números tais que a soma vale \(-1\) e o produto vale 1. Se essa situação parece ainda mais difícil que o exemplo anterior, é o momento de recorrer a Bhaskara. Primeiramente, perceba o que ocorre quando calculamos o discriminante esta equação:

\(Δ=b^2-4ac=1^2-4⋅1⋅1 =-3\)

Como o discriminante é negativo, a equação \(x^2+x+1=0\) não possui raízes reais, somente raízes complexas. Ou seja, não existem \(x_1\) e \(x_2\) reais tais que a soma seja \(-1\) e o produto seja 1.

Conclusão: Por meio dos exemplos, podemos concluir que em algumas circunstâncias, o método da soma e do produto não é muito eficiente para a determinação das raízes reais de uma equação de 2º grau. De forma geral, esse procedimento é aconselhado para equações com coeficientes inteiros. Ainda assim, o processo de soma e produto pode ser inconclusivo, como vimos no item d) com a equação de coeficientes inteiros \(x^2+x+1=0\).

Leia também: Três passos para resolver uma equação do segundo grau

Exercícios resolvidos sobre soma e produto

Questão 1

Considere a equação \(2x^2-8x=0\) e responda aos itens abaixo.

a) Qual a soma e o produto das raízes reais dessa equação?

b) Por meio da resposta anterior, determine as raízes reais da equação.

Solução:

a) Perceba que \(a=2\), \(b=-8\) e \(c=0\). Portanto, a soma das raízes é 4 e o produto é 0.

b) Como o produto é 0, concluímos que uma das raízes reais deve ser zero. Logo, a outra raiz real é 4 (pois a soma é 4).

Questão 2

Sejam S e P a soma e o produto, respectivamente, das raízes reais da equação \(x^2-20x+75=0\). Assim, podemos afirmar que

a) S + P = 100

b) S + P = 95

c) S + P = 85

d) \( S-P=80\)

e) \( S-P=75\)

Solução:

Alternativa B

Note que \(a=1\), \(b=-20\) e \(c=75\), ou seja, S = 20 e P = 75. Logo, S + P = 95.