Cone

O cone é um importante sólido geométrico, que é estudado na geometria espacial. Ele é classificado como um corpo redondo ou sólido de revolução por ter um círculo como base e por ser construído a partir da rotação de um triângulo.

Ele pode ser classificado como um cone oblíquo ou cone reto, e este poder ser equilátero ou não. Em todos os sólidos geométricos, vale ressaltar a importância do cálculo da área total, ou seja, a soma da área das figuras que fazem parte do sólido que o compõe, e de seu volume, que é o espaço ocupado pelo corpo. Vale ressaltar que, no cone, existem formas específicas para o cálculo da área total e do volume, as quais serão apresentadas no decorrer deste texto.

Os cones são sólidos geométricos formados a partir da rotação de um triângulo.

Elementos de um cone

Bastante presente no nosso cotidiano e considerado um importantíssimo sólido geométrico, o cone é conhecido como um dos corpos redondos ou sólidos de revolução pela característica que ele possui de ter uma base circular e por ser construído a partir da rotação de um triângulo, conhecida também como revolução de um triângulo.

Rotação de um triângulo para a construção de um cone.

Por ter uma base circular (C), na geometria plana, devemos considerar o seu raio (r), que é um elemento importantíssimo para os cálculos e estudos do cone. Além do raio da base, a altura (h) também é um elemento importante, pois ela liga o vértice (V) à base de forma perpendicular.

Cone de raio r e altura h

Outro elemento bastante importante no cone são as suas geratrizes (g), que são semirretas que ligam o vértice às extremidades da circunferência. Elas são infinitas. Veja algumas delas:

Geratrizes de um cone

Para calcular a geratriz de um cone reto, usamos o teorema de Pitágoras, a partir da altura (h), raio (r) e geratriz (g).

Triângulo retângulo no cone.

Analisando o triângulo pelo teorema de Pitágoras, podemos afirmar que g é a hipotenusa do triângulo, h e r são os catetos desse triângulo, logo, temos que:

g²=h²+r²

Veja também: Semelhança de triângulos – teorema e casos

Classificação de um cone

O reconhecimento do cone é fundamental para a resolução de problemas na matemática. Um cone pode ser classificado como oblíquo ou reto – este, por sua vez, pode ser também equilátero.

Cone oblíquo: quando o vértice não está alinhado com o centro da base, logo o segmento que liga o vértice ao centro da circunferência não é mais a altura, como acontece no cone reto.

Cone reto: quando o vértice e o centro do círculo formam um ângulo reto, ou seja, a altura desse cone é o segmento que liga o vértice do cone e o centro do círculo da base.

Cone reto

Cone equilátero: precisa ser necessariamente reto e é classificado como equilátero porque o diâmetro da base é igual à geratriz. Quando acontece uma secção nesse cone, ela forma um triângulo equilátero (triângulo que possui todos os lados iguais).

Cone equilátero

Note que, na imagem, o triângulo AVB é equilátero.

Área do cone

Para calcular a área total de qualquer sólido geométrico, devemos calcular a área das figuras planas que formam o sólido, logo é importante conhecer a planificação do cone.

Planificação do cone

Podemos ver que a área da base (A_b) é a área de um círculo de raio r e que a área lateral (A_l) é a área de um arco. Vamos calcular cada uma delas separadamente para chegarmos à área total.

A_t=A_l+A_b

Área da base: como a base é um círculo, então é igual a πr²:

A_b = πr²

Área lateral: a área de um setor circular, que é dada por:

A_l= π . r . g

Conhecendo as fórmulas da área lateral e da área da base, podemos reescrever a área total do cone, que pode ser calculada por:

A_t= πr (r + g)

Leia também: Volume da esfera – como calcular?

Volume do cone

Cálculo de grande importância, assim como a área total, o volume do cone é calculado a partir de uma fórmula que leva em consideração a área da base e a altura do cone. Vale ressaltar que cones com mesma altura e mesmo raio possuem a mesma área, ou seja, se houver um cone reto de altura h e raio r e um cone oblíquo com mesma altura e raio, o volume deles será o mesmo. O volume é dado pela multiplicação da área da base (como a base é um círculo: ) e a altura dividida por três.

→ Relação entre o volume do cilindro e do cone

Um problema bastante comum em provas de vestibulares e concursos é a comparação entre o volume do cilindro e o volume do cone. Vale ressaltar que o volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro que possui mesma altura e mesmo raio. Para saber mais sobre esse cálculo, acesse nosso texto: V olume do cilindro.

Tronco de cone

A secção do cone forma uma figura conhecida como tronco de cone, que é a base do cone sem o vértice.

Secção do cone

Com a secção do cone, teremos a seguinte figura:

O volume do tronco de cone é calculado por:

R: raio maior

r: raio menor

Acesse também: Quais são os critérios para se classificar um triângulo?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Um reservatório foi construído no formato de um cone reto, com raio de 4 m e altura de 3 m. Para a conservação do reservatório, foi contratado um pintor que cobra R$3,00 por m² para pintar a área externa. Diante dessa situação, qual será o valor gasto para pintar o reservatório todo? (Use π = 3,14)

a) R$ 340,98

b) R$500,00

c) R$75,00

d) R$ 113,04

e) R$ 339,12

Resolução:

Para calcular a área a ser pintada, precisamos calcular a área total do cone:

A_t= πr (r + g)

Porém, não conhecemos a geratriz do cone, que é dada por:

Agora é possível calcular a área total:

A_t = 3,14 . 4 (4+5)

A_t= 12,56 . 9 = 113,04 m²