Determinante

Determinante é um número real associado à matriz, e somente matrizes quadradas o possuem.

Determinante da matriz é um valor que está associado à matriz. Utilizamos o determinante para resolução de sistemas lineares, para verificar se três pontos são colineares, entre outras aplicações. Calculamos o determinante de matrizes quadradas, ou seja, matrizes que têm o mesmo número de linha e de coluna.

A regra de Sarrus é um importante método de cálculo de determinante, utilizado principalmente no cálculo de matrizes de ordem 3 devido a sua complexidade, mas também no caso de matrizes de ordem 2. Existem algumas propriedades importantes para o cálculo de determinantes.

Veja também: Teorema de Laplace — um método de cálculo do valor do determinante de matrizes quadradas

Resumo sobre determinantes

O determinante de uma matriz é um número real associado à matriz.
Somente matrizes quadradas possuem determinante.
O determinante da matriz de ordem 1 é igual ao único elemento existente na matriz.
Para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e 3, utilizamos a regra de Sarrus.
Propriedades dos determinantes:
- Se uma linha ou uma coluna da matriz possui todos os elementos iguais a zero, o determinante da matriz é zero.
- Se duas linhas da matriz forem iguais, o determinante é zero.
- Se as linhas ou as colunas forem proporcionais, o determinante é zero.
- Dada uma matriz A e uma constante k, temos que:

- O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos seus determinantes.

Notação de determinantes

Sabendo que o determinante de uma matriz é associado a uma matriz e que apenas as matrizes quadradas possuem determinantes, conhecendo a matriz A, o cálculo do determinante da matriz A é denotado por det(A). Quando listamos o termo da matriz, o determinante dessa matriz é representado pelos elementos da matriz entre duas barras retas. Por exemplo, em uma matriz 2x2, temos que:

Como calcular o determinante de uma matriz?

Determinante da matriz de ordem 1

Começando pelo determinante mais simples, uma matriz de ordem 1 é aquela que possui somente 1 linha e 1 coluna, logo, ela tem um único termo. Em uma matriz de ordem 1, o seu determinante será igual ao seu único termo, ou seja:

Exemplo:

Dada a matriz a seguir, calcule o seu determinante.

Resolução:

Determinante da matriz de ordem 2

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calcula-se a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal da matriz e o produto dos termos da diagonal secundária da matriz. Esse modo de efetuar o cálculo é conhecido como regra de Sarrus. Assim, dada a matriz quadrada:

A diagonal principal é composta pelos termos e .
A diagonal secundária é composta pelos termos e .

Então o determinante da matriz A é igual a:

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz B.

Resolução:

Determinante da matriz de ordem 3

O determinante de uma matriz de ordem 3 é um pouco mais trabalhoso do que o anterior (de ordem 2). Para calculá-lo, utilizamos o mesmo método conhecido como regra de Sarrus, mas é necessário atenção. Veja, a seguir, como aplicar a regra de Sarrus nesse caso.

Regra de Sarrus e o cálculo do determinante da matriz de ordem 3

A regra de Sarrus é o método utilizado para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3. Primeiro faremos a representação algébrica dessa matriz.

O determinante da matriz:

O primeiro passo é duplicar a primeira e segunda colunas:

A diagonal principal da matriz é a que contém os termos:

Note que há mais duas diagonais paralelas a ela:

Agora multiplicaremos os termos de cada uma das três diagonais e calcularemos a soma entre eles:

Agora calcularemos o produto dos termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela:

Então o determinante da matriz A é dado por:

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz B

Resolução:

Videoaula sobre o determinante de matriz de ordens 1, 2 e 3

Propriedades dos determinantes

As propriedades dos determinantes ajudam a simplificar os cálculos e até mesmo dispensam o processo algébrico utilizado para encontrar o determinante.