Determinante

Determinante é um número real associado à matriz, e somente matrizes quadradas o possuem.
O determinante é utilizado na resolução de sistemas lineares.

Determinante da matriz é um valor que está associado à matriz. Utilizamos o determinante para resolução de sistemas lineares, para verificar se três pontos são colineares, entre outras aplicações. Calculamos o determinante de matrizes quadradas, ou seja, matrizes que têm o mesmo número de linha e de coluna.

A regra de Sarrus é um importante método de cálculo de determinante, utilizado principalmente no cálculo de matrizes de ordem 3 devido a sua complexidade, mas também no caso de matrizes de ordem 2. Existem algumas propriedades importantes para o cálculo de determinantes.

Veja também: Teorema de Laplace — um método de cálculo do valor do determinante de matrizes quadradas

Resumo sobre determinantes

  • O determinante de uma matriz é um número real associado à matriz.
  • Somente matrizes quadradas possuem determinante.
  • O determinante da matriz de ordem 1 é igual ao único elemento existente na matriz.
  • Para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e 3, utilizamos a regra de Sarrus.
  • Propriedades dos determinantes:
    • Se uma linha ou uma coluna da matriz possui todos os elementos iguais a zero, o determinante da matriz é zero.
    • Se duas linhas da matriz forem iguais, o determinante é zero.
    • Se as linhas ou as colunas forem proporcionais, o determinante é zero.
    • Dada uma matriz A e uma constante k, temos que:

    • O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos seus determinantes.

Notação de determinantes

Sabendo que o determinante de uma matriz é associado a uma matriz e que apenas as matrizes quadradas possuem determinantes, conhecendo a matriz A, o cálculo do determinante da matriz A é denotado por det(A). Quando listamos o termo da matriz, o determinante dessa matriz é representado pelos elementos da matriz entre duas barras retas. Por exemplo, em uma matriz 2x2, temos que:

Como calcular o determinante de uma matriz?

  • Determinante da matriz de ordem 1

Começando pelo determinante mais simples, uma matriz de ordem 1 é aquela que possui somente 1 linha e 1 coluna, logo, ela tem um único termo. Em uma matriz de ordem 1, o seu determinante será igual ao seu único termo, ou seja:

Exemplo:

Dada a matriz a seguir, calcule o seu determinante.

Resolução:

  • Determinante da matriz de ordem 2

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calcula-se a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal da matriz e o produto dos termos da diagonal secundária da matriz. Esse modo de efetuar o cálculo é conhecido como regra de Sarrus. Assim, dada a matriz quadrada:

  • A diagonal principal é composta pelos termos  e .
  • A diagonal secundária é composta pelos termos e .

Então o determinante da matriz A é igual a:

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz B.

Resolução:

  • Determinante da matriz de ordem 3

O determinante de uma matriz de ordem 3 é um pouco mais trabalhoso do que o anterior (de ordem 2). Para calculá-lo, utilizamos o mesmo método conhecido como regra de Sarrus, mas é necessário atenção. Veja, a seguir, como aplicar a regra de Sarrus nesse caso.

  • Regra de Sarrus e o cálculo do determinante da matriz de ordem 3

A regra de Sarrus é o método utilizado para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3. Primeiro faremos a representação algébrica dessa matriz.

O determinante da matriz:

O primeiro passo é duplicar a primeira e segunda colunas:

A diagonal principal da matriz é a que contém os termos:

Note que há mais duas diagonais paralelas a ela:

Agora multiplicaremos os termos de cada uma das três diagonais e calcularemos a soma entre eles:

Agora calcularemos o produto dos termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela:

Então o determinante da matriz A é dado por:

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz B

Resolução:

  • Videoaula sobre o determinante de matriz de ordens 1, 2 e 3

Propriedades dos determinantes

As propriedades dos determinantes ajudam a simplificar os cálculos e até mesmo dispensam o processo algébrico utilizado para encontrar o determinante.

  • 1ª propriedade: se uma linha ou uma coluna da matriz possui todos os elementos igual a zero, então o determinante da matriz será igual a zero.

Exemplo:

  • 2ª propriedade: se duas linhas da matriz forem iguais, então o seu determinante é zero.

Exemplo:

  • 3ª propriedade: se as linhas ou as colunas forem proporcionais, então o determinante da matriz é zero.

Exemplo:

Note que a linha 3 da matriz é igual ao dobro da linha 1, logo, o determinante da matriz é zero.

  • 4ª propriedade: dadas uma matriz A e uma constante k, temos que:

O n é a ordem da matriz.

Exemplo:

Sabemos que essa matriz é de ordem 2, logo, temos n = 2. Note então que:

  • 5ª propriedade: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos seus determinantes.

Exemplo:

Veja o cálculo do determinante do produto entre as matrizes A e B.

Então o determinante do produto entre as matrizes A e B é igual a:

Leia também: Teorema de Jacobi — o teorema que diminui os valores dos elementos de uma matriz quadrada

Exercícios resolvidos sobre determinantes

Questão 1

Qual deve ser o valor de x para que a matriz possua determinante igual a 4?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução:

Alternativa E

Analisando o determinante da matriz A, temos que:

Como

Então

 

Questão 2

(Anac – Esaf) Dada a matriz A abaixo, o determinante da matriz 2A é igual a:

A) 40

B) 10

C) 18

D) 16

E) 36

Resolução:

Alternativa A

A matriz 2A será:

Calculando o determinante:

 

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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