Equações incompletas do segundo grau

Toda equação que pode ser escrita na forma: ax² + bx + c = 0 é conhecida como equação do segundo grau. As regras para essa definição são apenas que o a seja sempre diferente de zero e que os números representados pelas letras a, b e c – chamados coeficientes – pertençam ao conjunto dos números reais.

Assim, o único coeficiente que necessariamente não pode ser zero é o coeficiente a. Quando um dos outros dois coeficientes é igual a zero (ou ambos), dizemos que a equação do segundo grau é incompleta. Exemplo:

x² = 0 é incompleta, pois b = 0 e c = 0.

x² – 16 é incompleta, pois b = 0.

x² + 10x é incompleta, pois c = 0.

A seguir, conheça as técnicas mais conhecidas para resolver equações incompletas do segundo grau.

Fórmula de Bháskara

A fórmula de Bháskara é a técnica mais usada para resolver equações do segundo grau, pois, por meio dela, é possível resolver qualquer tipo de equação: completa ou incompleta. Desde que a equação seja do segundo grau e esteja escrita exatamente na forma ax² + bx + c = 0, será possível resolvê-la usando a fórmula de Bháskara.

Essa fórmula geralmente é dividida em duas etapas: calcular o valor do discriminante e, depois, calcular as soluções da equação. Para tanto, basta substituir os valores dos coeficientes na seguinte fórmula:

∆ = b² – 4ac

Em seguida, basta substituir os valores dos coeficientes e de ∆ na fórmula a seguir:

x = – b ± √∆
      2a

Observe que existe um sinal ± na segunda fórmula. Isso significa que o cálculo deve ser feito duas vezes: a primeira considerando um + (sinal positivo) e a segunda considerando um – (sinal negativo) nessa posição.

Quando C = 0

Quando apenas o coeficiente c é igual a zero, é possível calcular os resultados da equação do segundo grau usando a fórmula de Bháskara, conforme foi dada acima, ou apenas colocando a incógnita em evidência. Na equação x² + 16x = 0, teremos:

x(x + 16) = 0

O resultado de colocar a incógnita em evidência é um produto no qual um dos fatores é x e o outro é x + 16. Para que esse produto realmente seja igual a zero, como a igualdade garante, deveremos ter apenas:

x = 0 ou x + 16 = 0

No primeiro caso, o resultado já seria zero, o que faz com que x = 0 seja um resultado para essa equação. No segundo, podemos fazer:

x + 16 = 0

x = – 16

Então, as soluções para essa equação são: x = 0 e x = – 16.

Se o coeficiente a for diferente de 1, o uso desse método ficará viável quando toda a equação for dividida pelo valor numérico do coeficiente A.

Quando B = 0

Se apenas o coeficiente b for igual a zero, a equação do segundo grau poderá ser solucionada por meio da fórmula de Bháskara, ou usando conhecimentos básicos de equações. Observe o exemplo: x² – 25 = 0.

x² – 25 = 0

x² = 25

Agora, faça raiz quadrada em ambos os membros da equação, lembrando que isso resulta em dois valores distintos da raiz de 25: um positivo e outro negativo:

√x² = ±√25

x = ± 5

Observações: Quando o coeficiente c for positivo, não será possível encontrar soluções reais para a equação em que b = 0, pois o resultado será uma raiz de um número negativo.

Se o coeficiente a for diferente de 1, basta dividir ambos os membros da equação pelo valor numérico de a e simplificar o resultado para prosseguir com os mesmos cálculos feitos aqui.

Quando B = 0 e C = 0 na mesma equação

Quando uma equação possui coeficientes b e c iguais a zero, ela poderá ser resolvida por meio da fórmula de Bháskara, ou é possível assumir que seus dois resultados reais serão iguais a zero. Observe:

ax² = 0

Dessa forma, procuramos um número que, elevado ao quadrado e multiplicado pelo coeficiente a, terá zero como resultado. Se esse resultado for qualquer número diferente de zero, o coeficiente a deverá ser zero, e essa não será mais uma equação do segundo grau. Se x for igual a zero, então o problema estará resolvido.

Portanto, as soluções de uma equação na qual b = 0 e c = 0 são zero e zero.