Álgebra

A álgebra é o ramo da Matemática que estuda a manipulação de variáveis e incógnitas para resolver problemas. Utilizamos a variável para representar valores desconhecidos, o que torna possível uma generalização dos cálculos e uma análise dos resultados. Podemos ver diversas aplicações do conhecimento algébrico, como na Física, na engenharia, na estatística, na computação, entre outras áreas do conhecimento. Abrange o estudo da teoria dos conjuntos, das equações, das funções, dos polinômios, dos sistemas de equações e das estruturas matemáticas mais complexas.

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Resumo em tópicos sobre álgebra

• Álgebra é a área da Matemática que estuda a manipulação de símbolos e números para resolver problemas.
• Utiliza variáveis e incógnitas para representar valores desconhecidos, permitindo a generalização de cálculos e resultados.
• É base para diversas áreas da ciência, como Física, Química, engenharia, computação e estatística.
• Na álgebra estudamos a teoria dos conjuntos, as equações, as funções, os polinômios, os sistemas de equações e as estruturas matemáticas mais complexas.

O que é a álgebra?

Conhecemos como álgebra a área da Matemática que estuda as estruturas e relações envolvendo quantidades e símbolos. A aritmética é a área da Matemática que lida somente com os números e as operações entre eles, já a álgebra generaliza operações com o uso de incógnitas e variáveis, permitindo resolver problemas complexos de forma abstrata.

A representação de variáveis na álgebra permitiu que a Matemática se desenvolvesse a ponto de resolvermos equações e desigualdades, ajudando a compreender os padrões dessas variáveis. O estudo das variáveis tem vasta aplicação tanto na Matemática quanto em outras ciências, como a Física, a Química, as engenharias, a computação e a estatística.

O que se aprende em álgebra?

O estudo da álgebra tem como base a teoria dos conjuntos, e posteriormente estuda-se conteúdos importantes, como expressões algébricas, polinômios, equações, sistema de equações, inequações e funções.

• Teoria dos conjuntos: introdução à teoria dos conjuntos é a base da álgebra. Na teoria dos conjuntos, aprende-se a lidar com as operações entre conjuntos, como a diferença, a união, a interseção, a completação, entre outras. Além disso, essa teoria é essencial para entender a relação entre conjuntos e funções.
• Resolução de equações: resolver equações é encontrar o valor de uma incógnita que, a priori, é desconhecido. Existem diferentes tipos de equação, como as equações lineares, quadráticas, cúbicas, exponenciais, logarítmicas, entre outras. Na álgebra estudamos diferentes métodos de resolução de equações.
• Expressões algébricas: realizar operações com expressões algébricas é fundamental para aprender mais sobre polinômios e funções. Simplificar e manipular expressões algébricas é essencial para o estudo da álgebra. Ao estudar expressões algébricas, podemos desenvolver a habilidade de realizar operações (como adição, subtração, multiplicação e divisão) envolvendo variáveis. Saiba mais sobre expressões algébricas clicando aqui.
• Sistemas de equações: solução de mais de uma equação simultaneamente, com o objetivo de encontrar conjuntos de valores que satisfaçam todas as equações ao mesmo tempo.
• Inequações: manipulação de expressões algébricas que envolvem desigualdades e resolução de intervalos que satisfazem essas desigualdades.
• Polinômios: estudo de expressões algébricas que consistem em termos formados por variáveis elevadas a potências inteiras não negativas e coeficientes. Aprendemos a realizar operações com polinômios, como soma, subtração, multiplicação, divisão e fatoração. Saiba mais sobre polinômios clicando aqui.
• Funções: exploração de relações entre variáveis por meio de funções matemáticas. Aprendemos a trabalhar com funções lineares, quadráticas, exponenciais, logarítmicas e outras, bem como a interpretar seus gráficos, compreendendo o comportamento da variável. Saiba mais sobre funções clicando aqui.

É importante ressaltar que esses conteúdos são estudados na álgebra em nível médio, pois existem outros conteúdos da área de nível superior, como o estudo de vetores, de transformações lineares, o estudo a fundo das matrizes, entre outros.

Veja também: Afinal, qual é a diferença entre funções e equações?

Tipos de álgebras

Existem vários tipos de álgebra, os mais comuns são: a álgebra elementar, a álgebra linear, e a álgebra moderna.

→ Álgebra elementar

É o tipo mais básico de álgebra e envolve operações aritméticas usando variáveis. É o tipo de álgebra ensinado no ensino médio, quando os estudantes aprendem a resolver equações e inequações simples, a manipular expressões algébricas e a trabalhar com fórmulas.

→ Álgebra linear

Um pouco mais avançada que a álgebra elementar, a álgebra linear foca no estudo de vetores, matrizes e espaços vetoriais. Ela é essencial para áreas como Física, engenharia e ciência da computação. Na álgebra linear, estudamos operações envolvendo vetores e matrizes, transformações lineares e sistemas de equações lineares.

→ Álgebra abstrata ou álgebra moderna

Estuda estruturas algébricas mais gerais, como grupos, anéis, corpos e módulos. Trata-se de um estudo mais teórico, com a abordagem das propriedades dessas estruturas, focando em conceitos como homomorfismos, subestruturas e isomorfismos.

Regras da álgebra

As regras da álgebra envolvem as propriedades e operações com uso de variáveis e números em expressões e equações. Veremos as principais:

→ Propriedades aritméticas básicas

• Propriedade comutativa: a ordem dos termos não afeta o resultado.

\(a+b=b+a\)

\(a⋅b=b⋅a\)

• Propriedade associativa: a maneira como os termos são agrupados não altera o resultado.

\((a+b)+c=a+(b+c)\)

\(a(b⋅c)=(a⋅b)⋅c\)

• Propriedade distributiva: multiplicar uma soma por um número é o mesmo que multiplicar cada termo da soma e depois somar.

\(a(b+c)=a⋅b+a⋅c\)

• Existência do elemento neutro:

\(a+0=a\)

\(a⋅1=a\)

• Existência do elemento oposto:

\(a \cdot \frac{1}{a} = 1 \)

Essas cinco propriedades são válidas para todos os números reais a, b e c.

História da álgebra

O termo “álgebra” vem do árabe, al-jabr, e foi introduzido no século IX pelo matemático persa Al-Khwarizmi, que desenvolveu o uso de equações. Civilizações antigas, como babilônios e egípcios, já resolviam equações quadráticas e cúbicas. Os gregos também contribuíram, especialmente na geometria algébrica e nas equações. Durante a Idade de Ouro islâmica, Al-Khwarizmi e outros matemáticos aperfeiçoaram a álgebra, tornando-a mais abstrata e simbólica. No Renascimento, foi introduzido o uso de letras para representar variáveis, enquanto Gerolamo Cardano resolveu equações cúbicas e quadráticas. No Período Moderno, matemáticos como Descartes e Newton integraram álgebra e cálculo. No século XIX, Évariste Galois e Niels Abel avançaram na álgebra abstrata, desenvolvendo conceitos como grupos, anéis e corpos. Hoje, a álgebra abrange áreas complexas, com aplicações em diversas áreas, incluindo criptografia e Física teórica.

Saiba mais: O que são inequações?

Como aprender álgebra?

Para aprender algébrica, é fundamental que, antes, tenha-se o domínio das operações básicas, para que, posteriormente, consiga-se resolver expressões algébricas e equações. É importante praticar diariamente e entender bem a linguagem e os símbolos matemáticos. O ideal é começar por problemas simples, e ir aprofundando, até dominar os tópicos principais, como equações, fatoração, inequação, funções e matrizes.

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Fontes

BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Lienar. 3ª ed. Harbra, 1986.

SILVA, Wahl. O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W, 2020.