Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas são igualdades envolvendo funções trigonométricas. Elas também são conhecidas como transformações trigonométricas.

Alguns exemplos de identidade trigonométrica são a função tangente e a relação fundamental da trigonometria. Existem outras identidades trigonométricas, como as funções secante, cossecante e cotangente.

Leia também: Quais são as funções trigonométricas?

Quais são as identidades trigonométricas?

Existem várias identidades trigonométricas, mas as principais são a função tangente e a relação fundamental da trigonometria.

• Função tangente

A função tangente é igual à razão entre a função seno e a função cosseno para um mesmo ângulo:

Note que essa identidade torna possível uma relação entre as funções seno, cosseno e tangente para um determinado ângulo.

• Relação fundamental da trigonometria

A relação fundamental da trigonometria é uma aplicação do teorema de Pitágoras para as funções trigonométricas no ciclo trigonométrico. Dessa aplicação surge a identidade que leva o nome de relação fundamental da trigonometria:

Exemplo:

O ângulo x possui valor de seno igual a , então o valor do cosseno e da sua tangente, sabendo que esse ângulo pertence ao primeiro quadrante, são iguais a:

Resolução:

Primeiro calcularemos o valor do cosseno, pois sabemos que:

Conhecendo o valor do cosseno e do seno, agora é possível calcular a tangente do ângulo:

Demonstração das identidades trigonométricas

Podemos demonstrar tanto a função tangente quanto a relação fundamental da trigonometria recorrendo à representação no ciclo trigonométrico:

O círculo representado na imagem possui raio medindo 1. Note que, ao aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos que:

Mas note que x é o valor do cosseno do ângulo e y é o valor do seno do ângulo, logo temos que:

Fica demonstrada a relação fundamental da trigonometria.

Utilizando o mesmo raciocínio, podemos demonstrar também que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno do ângulo. Sabemos que a tangente é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do ângulo, logo:

Outras identidades trigonométricas

→ Funções inversas

• Cotangente

A função cotangente é a função inversa da tangente.

• Secante

A função secante é a função inversa da função cosseno:

• Função cossecante

A função cossecante é a função inversa da função seno:

→ Soma e diferença de dois arcos

• Seno da soma: sen(x + y) = sen(x) · cos (y) + sen (y) · cos (x)
• Seno da diferença: sen(x – y) = sen(x) · cos (y) – sen (y) · cos (x)
• Cosseno da soma: cos(x + y) = cos(x) · cos (y) – sen (x) · sen (y)
• Cosseno da diferença: cos(x – y) = cos(x) · cos (y) + sen (x) · sen (y)
• Tangente da soma: 
• Tangente da diferença: 

Vale ressaltar que, além das apresentadas, existem outras identidades trigonométricas.

Leia também: Razões trigonométricas para o triângulo retângulo

Exercícios resolvidos sobre identidades trigonométricas

Questão 1

Durante um estudo, foi constatado que o ângulo possui seno igual a 0,848 e o cosseno igual a 0,529. Então o valor da tangente desse ângulo é de aproximadamente:

A) 1,60.

B) 1,38.

C) 0,97.

D) 0,62.

E) 0,54.

Resolução:

Alternativa A.

Sabemos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno do ângulo, então, calculando essa razão, temos que:

Questão 2

Um determinado ângulo x possui valor de cosseno igual a , então o valor do seno desse ângulo será igual a:

A) .
B) .
C) .
D)  .
E) .

Resolução:

Alternativa C.

Calculando o seno, temos que:

Fontes:

Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.