Média Aritmética
A média aritmética é uma medida estatística de posição, ou seja, ela nos fornece a posição de elementos que estão em um rol numérico. A média aritmética pode ser analisada em duas situações. A primeira delas é o caso em que o rol numérico não possui elementos repetidos. Nessa situação, nomeamos essa medida de posição como média aritmética simples. Nos casos em que o rol apresenta elementos repetidos, nomeamos essa medida como média aritmética ponderada.
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Média aritmética simples
A média aritmética simples é utilizada em casos nos quais o rol numérico não apresenta nenhuma repetição. Para calcular o valor da média aritmética simples, devemos realizar o somatório de todos os elementos do rol e dividir essa soma pela quantidade de elementos.
Considere o rol composto por números reais {x1, x2, x3, …, xn}, e a média aritmética é representada por.
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Exemplo 1
Em um grupo de seis amigos, foram computadas suas idades. Determine qual a idade média desse grupo.
Idades {12, 13, 14, 16, 18,20}
Para determinar-se a média de idades desse grupo, devemos somar todos os números e dividir essa soma pela quantidade de elementos do rol, assim:
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Exemplo 2
Determine a média entre os números 4, 9, 12, 25.
Da mesma maneira, devemos somar os números e dividir a soma pela quantidade de elementos.
Média aritmética ponderada
A média aritmética ponderada é utilizada em casos nos quais o rol numérico apresenta repetições. Para calcular a média aritmética ponderada de um rol numérico, devemos realizar o mesmo processo utilizado na média aritmética simples, ou seja, somar todos os elementos do rol e dividir a soma pela quantidade de elementos.
Como alguns elementos repetem-se, poderemos escrever essas somas na forma de multiplicação. Veja como:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Observe que o número 4 repete-se cinco vezes, assim, podemos escrever essa soma desta forma:
5 · 4 = 20
Considere um rol em que o elemento x1 repete-se por k1 vezes, x2 repete-se por k2 vezes, x3 repete-se por k3 vezes, xn repete-se por kn vezes. Para calcular a média aritmética ponderada, utilizamos a seguinte fórmula.
A quantidade de vezes que um elemento repete-se é chamada peso. Dessa forma, o elemento x1 do rol possui peso k1, o elemento x2 possui peso k2, e assim sucessivamente.
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Exemplo 3
Determine a média entre os números 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5.
Observe que os números repetem-se, assim, devemos multiplicar cada número pela quantidade de vezes que ele se repete, e isso deve ser feito com todos eles. Em seguida, devemos somá-los. A soma deve ser dividida pelo somatório dos pesos.
Leia também: Medidas de dispersão: amplitude e desvio
Diferença entre média aritmética e geométrica
Existe uma diferença entre a média aritmética e a média geométrica. A média aritmética é utilizada em casos nos quais não existe um crescimento sucessivo no rol, enquanto em casos que existe esse crescimento sucessivo é utilizada a média geométrica. Veja:
1. rol = {1, 2, 3, 4, 5}
Observe que o rol apresenta elementos sucessivos, logo, podemos utilizar a média geométrica.
2. rol = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3}
Veja que nesse rol aparecem elementos repetidos, assim, podemos utilizar a média aritmética ponderada. A média geométrica é utilizada principalmente em casos de problemas financeiros, para entender melhor, acesse: Média geométrica.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – O dono de uma creche realizou um levantamento das idades de seus alunos, encontrando as seguintes, em rol: (2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8). Determine a média de idades.
Resolução
Vamos utilizar a média aritmética ponderada devido à repetição de elementos.
Assim, a idade média dos alunos é de 4,3 anos.
Para calcularmos a mediana, perceba que número de elementos do rol é par, logo, devemos pegar os dois elementos centrais e calcular a média aritmética entre eles.
Questão 2 – (Uece 2010) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2310 é:
a) 5,6
b) 6
c) 6,3
d) 6,7
Resolução
Inicialmente vamos realizar a decomposição em fatores primos do número 2310:
2310 = 2 · 3 · 5 · 7 ·11
Portanto, a média aritmética entre os fatores é dada por: