Média geométrica

A média geométrica é uma medida estatística bastante utilizada em situações de aumentos sucessivos, fato muito comum em problemas financeiros. A média geométrica é obtida extraindo-se a raiz n-ésima da multiplicação dos n termos positivos de um rol.

Leia também: Média ponderada – medida de posição no campo da estatística

Fórmula da média geométrica

Considere um rol formado por números reais positivos: x₁, x₂, x₃, …, x_n. A média geométrica desses n termos é dada pela raiz n-ésima do produto dos termos do rol.

Veja que o índice n da raiz corresponde à quantidade de elementos do rol.

Como calcular a média geométrica?

Para determinar a média geométrica, devemos substituir os valores do rol numérico na fórmula. Veja alguns exemplos:

Exemplo 1

Determine a média geométrica dos valores 2, 3, 4, 7.

Aplicando na fórmula, temos:

Exemplo 2

Calcule a média geométrica e aritmética entre os valores 4 e 9.

Sabemos que a média geométrica é calculada com base na raiz do produto dos valores, assim:

A média aritmética é obtida somando-se os termos e o resultado, dividindo a soma pela quantidade de elementos. Assim:

Veja também: Média, moda e mediana – medidas de posição em estatística

Diferença entre média aritmética e geométrica

A média geométrica e a média aritmética são medidas de tendências centrais e são utilizadas em casos descritivos, isto é, em casos em que os dados são fornecidos em um rol numérico.

A média geométrica é utilizada em casos nos quais os elementos do rol crescem de maneira sucessiva, como foi explicado. Já a média aritmética é utilizada em casos nos quais os elementos do rol variam de maneira não necessariamente crescente. Quando não apresenta repetição no conjunto de números analisado, utiliza-se a média aritmética simples: realizando-se o somatório de todos os elementos do rol e dividindo essa soma pela quantidade de elementos.

Quando há a repetição de valores no conjunto analisado, utiliza-se a média aritmética ponderada, realizando-se o cálculo semelhante ao da média aritmética simples: somando os elementos do rol e dividindo a soma pela quantidade de elementos.

No entanto, como alguns elementos repetem-se, eles serão escritos em forma de multiplicação. Dessa forma, se um elemento x₁ repete-se por k₁ vezes, x₂ repete-se por k₂ vezes, x₃ repete-se por k₃ vezes, x_n repete-se por k_n vezes. Para calcular a média aritmética ponderada, utilizamos a seguinte fórmula.

Para saber mais sobre como e quando aplicar essas outras duas formas de médias, acesse o nosso texto: Média aritmética.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – A média aritmética entre dois números é 20,5, enquanto a média geométrica é 20. Determine esses números.

Resolução

Como os números são desconhecidos, vamos nomeá-los a e b. Assim:

Na primeira equação, podemos elevar ambos os lados ao quadrado, eliminando a raiz.

a · b = 400

Na segunda equação, podemos multiplicar cruzado, obtendo:

a + b = 21

Isolando a incógnita na equação anterior e substituindo-a na primeira, temos:

a = 21 – b

(21 – b) · b = 400

– b² + 21b – 400 = 0

Utilizando-nos da fórmula de Bhaskara, temos:

Como o valor do descriminante é negativo, podemos concluir que não existem valores de a e b que satisfazem a condição.
 

Questão 2 – Determine o valor de x sabendo que a média geométrica entre x e 9 é 6.

Resolução

Substituindo as informações do enunciado na fórmula, temos: