Média geométrica
A média geométrica é uma medida estatística bastante utilizada em situações de aumentos sucessivos, fato muito comum em problemas financeiros. A média geométrica é obtida extraindo-se a raiz n-ésima da multiplicação dos n termos positivos de um rol.
Leia também: Média ponderada – medida de posição no campo da estatística
Fórmula da média geométrica
Considere um rol formado por números reais positivos: x1, x2, x3, …, xn. A média geométrica desses n termos é dada pela raiz n-ésima do produto dos termos do rol.
Veja que o índice n da raiz corresponde à quantidade de elementos do rol.
Como calcular a média geométrica?
Para determinar a média geométrica, devemos substituir os valores do rol numérico na fórmula. Veja alguns exemplos:
Exemplo 1
Determine a média geométrica dos valores 2, 3, 4, 7.
Aplicando na fórmula, temos:
Exemplo 2
Calcule a média geométrica e aritmética entre os valores 4 e 9.
Sabemos que a média geométrica é calculada com base na raiz do produto dos valores, assim:
A média aritmética é obtida somando-se os termos e o resultado, dividindo a soma pela quantidade de elementos. Assim:
Veja também: Média, moda e mediana – medidas de posição em estatística
Diferença entre média aritmética e geométrica
A média geométrica e a média aritmética são medidas de tendências centrais e são utilizadas em casos descritivos, isto é, em casos em que os dados são fornecidos em um rol numérico.
A média geométrica é utilizada em casos nos quais os elementos do rol crescem de maneira sucessiva, como foi explicado. Já a média aritmética é utilizada em casos nos quais os elementos do rol variam de maneira não necessariamente crescente. Quando não apresenta repetição no conjunto de números analisado, utiliza-se a média aritmética simples: realizando-se o somatório de todos os elementos do rol e dividindo essa soma pela quantidade de elementos.
Quando há a repetição de valores no conjunto analisado, utiliza-se a média aritmética ponderada, realizando-se o cálculo semelhante ao da média aritmética simples: somando os elementos do rol e dividindo a soma pela quantidade de elementos.
No entanto, como alguns elementos repetem-se, eles serão escritos em forma de multiplicação. Dessa forma, se um elemento x1 repete-se por k1 vezes, x2 repete-se por k2 vezes, x3 repete-se por k3 vezes, xn repete-se por kn vezes. Para calcular a média aritmética ponderada, utilizamos a seguinte fórmula.
Para saber mais sobre como e quando aplicar essas outras duas formas de médias, acesse o nosso texto: Média aritmética.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – A média aritmética entre dois números é 20,5, enquanto a média geométrica é 20. Determine esses números.
Resolução
Como os números são desconhecidos, vamos nomeá-los a e b. Assim:
Na primeira equação, podemos elevar ambos os lados ao quadrado, eliminando a raiz.
a · b = 400
Na segunda equação, podemos multiplicar cruzado, obtendo:
a + b = 21
Isolando a incógnita na equação anterior e substituindo-a na primeira, temos:
a = 21 – b
(21 – b) · b = 400
– b2 + 21b – 400 = 0
Utilizando-nos da fórmula de Bhaskara, temos:
Como o valor do descriminante é negativo, podemos concluir que não existem valores de a e b que satisfazem a condição.
Questão 2 – Determine o valor de x sabendo que a média geométrica entre x e 9 é 6.
Resolução
Substituindo as informações do enunciado na fórmula, temos: