Números naturais
O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos. Em outras palavras, todo número que é inteiro e positivo é natural, além disso, como o zero é inteiro, mas não é negativo, ele também é um número natural.
Assim, a lista dos números naturais é a seguinte:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
E assim por diante, seguindo esse mesmo padrão de formação.
Note que essa sequência numérica é a que usamos para contar. Cada um desses símbolos representa uma quantidade, portanto, partindo do nada, uma unidade, duas unidades etc. Uma outra maneira de representar esse conjunto é usando a notação específica para conjuntos, na qual as reticências significam que a sequência continua nessa mesma ordem e padrão de formação:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Nessa notação, N é o símbolo que representa o conjunto dos números naturais.
A ideia de sucessor
O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros e não contém números repetidos, por isso, é possível escolher, entre dois números naturais distintos, aquele que é maior e aquele que é menor. Quando um número natural x é maior do que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é sucessor de y. Assim:
x é sucessor de y se x + 1 = y
Se olharmos na lista dos números naturais, colocada em ordem crescente, o sucessor de um número natural n é sempre o próximo número à sua direita. Logo:
O sucessor de 7 = 8
O sucessor de 20 = 21
etc.
Perceba também que todo número natural possui sucessor, assim, o sucessor do zero é 1, o sucessor de 1 é 2 …
Essa característica garante que, independentemente do número natural escolhido, e por maior que ele seja, sempre existirá um número natural uma unidade maior que ele. Portanto, o conjunto dos números naturais é infinito.
A ideia de antecessor
Quando um número natural x é menor que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é o antecessor de y. Assim:
x é antecessor de y se x – 1 = y
Olhando a lista de números naturais em ordem crescente, verificamos que o antecessor de um número natural n é o número à sua esquerda. Logo:
O antecessor de 7 = 6
O antecessor de 20 = 19
etc.
Nem todo número natural possui antecessor. Na realidade, apenas o zero não possui, pois ele é o primeiro número natural e também porque 0 – 1 = – 1, que não é um número natural. Assim sendo, concluímos que o conjunto dos números naturais é limitado.
Sim, é possível que um conjunto seja limitado e infinito ao mesmo tempo. O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente pelo zero, mas ilimitado superiormente e, por isso, é infinito.
Subconjuntos dos números naturais
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos muito conhecidos:
1 – Conjunto dos números primos (P): é formado por todos os números que são divisíveis apenas por 1 e por si mesmo.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
2 – Conjunto dos números compostos (C): é formado por todos os números que não são primos.
C = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …}
3 – Conjunto dos quadrados perfeitos (Q): é formado por todos os números que são resultados de uma potência em que o expoente é 2.
Q = (1, 4, 9, 16, 25, 36, …)