Propriedades da desigualdade nas inequações

As inequações são expressões algébricas que possuem uma desigualdade. Essa é a diferença básica entre equações e inequações, pois as equações possuem uma igualdade. As implicações disso são: um mesmo modo de resolver equações e inequações, uma análise de resultados diferente para ambas e algumas propriedades a mais para as inequações. Essas propriedades são o objeto de discussão deste artigo.

Antes de partir para as propriedades, vale destacar algumas diferenças entre equações e inequações.

Diferenças entre equações e inequações

As equações possuem resultado único se forem de primeiro grau (a quantidade de resultados de uma equação é igual ao seu grau). Já as inequações podem ter desde zero a infinitos resultados, dependendo do conjunto numérico e das condições em que foi definida.

Sendo assim, a análise dos resultados deve seguir padrões também diferentes. As equações respondem a perguntas que possuem resposta exata. Uma corrida de táxi, por exemplo, geralmente custa R$ 6,00 iniciais e mais R$ 4,20 por quilômetro rodado. Supondo que uma pessoa dispõe de R$ 32,00 para essa viagem, quantos quilômetros poderá andar?

A equação que representa essa situação e sua resolução são as seguintes:

4,2x + 6 = 32

4,2x = 32 – 6

4,2x = 26

x = 26
      4,2

x = 6,19 km

Observe que a solução de uma equação possui resultado exato. Quantos quilômetros podem ser rodados nessas condições? Exatamente 6,19.

Já as inequações possuem resultados descritos como conjuntos. O preço de uma corrida de táxi é determinado por um valor fixo de taxa de deslocamento, que é R$ 6,00, e um valor variável que depende da quantidade de quilômetros rodados: R$ 4,20 por quilômetro. Sabendo que uma corrida foi menor que 5 km, que valor foi gasto?

Se x = quilômetros percorridos e y = preço da corrida, a inequação e sua solução são as seguintes:

y = 4,2x + 6

Se x < 5, então:

y < 4,2·5 + 6

y < 21 + 6

y < 27

Assim, o valor gasto na corrida foi inferior a R$ 27,00, mas foi superior a R$ 6,00, que é o valor mínimo cobrado. Então, o resultado é algum número com duas casas decimais entre 6 e 27.

Propriedades da desigualdade

Tendo em vista as diferenças entre equações e inequações, podemos discutir as propriedades da desigualdade.

• Somar qualquer número ou incógnita nos dois membros de uma inequação não altera o sentido da desigualdade.

Por exemplo, na inequação a seguir, devemos somar alguns números a fim de reescrevê-la com os termos que possuem incógnita no primeiro membro e os outros que não possuem no segundo.

4x – 20 > 2x + 8

4x – 20 – 2x > 2x + 8 – 2x

2x – 20 > 8

2x – 20 + 20 > 8 + 20

2x > 28

Note que o processo acima é equivalente ao descrito nos métodos práticos, em que basta trocar números de lado, desde que o seu sinal seja trocado. Fazer isso não altera o sentido da desigualdade em uma inequação.

• Subtrair qualquer número ou incógnita nos dois membros de uma inequação não altera o sentido da desigualdade.

Essa propriedade é equivalente à última e seu exemplo já foi dado ao subtrair 2x nos dois membros da última inequação.

• Multiplicar um número positivo em ambos os membros de uma inequação não altera o sentido da desigualdade.

Para exemplificar, tomemos o exemplo anterior, que foi resolvido até encontrar:

2x > 28

Para concluir a resolução, devemos multiplicar ambos os membros por 1/2, que é um número positivo e não altera a desigualdade. Observe:

1·2x > 28·1
2             2

x > 14

• Multiplicar um número negativo em ambos os membros de uma inequação inverte o sentido da desigualdade.

Essa propriedade funciona em dois casos práticos. Quando existe um número negativo que será passado para o outro lado multiplicando ou dividindo, inverte-se o sinal da desigualdade. Quando multiplicamos uma inequação por – 1, inverte-se o sinal da desigualdade.

16x – 30 > 20x + 10

16x – 20x > 10 + 30

– 4x > 40 (– 1)

4x < – 40

x < – 40
         4

x < – 10