Regra de três composta

A regra de três composta é um método pelo qual podemos resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas. Esses problemas podem envolver grandezas direta ou inversamente proporcionais e estão presentes em muitas situações do nosso cotidiano.

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Como calcular uma regra de três composta

Para resolver um problema que envolve mais de duas grandezas, devemos inicialmente colocar os dados do problema em uma tabela e, em seguida, analisar se as grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

Caso a grandezas sejam diretamente proporcionais, mantemos a ordem das razões. Agora, caso as grandezas sejam inversamente proporcionais, devemos inverter a ordem da grandeza. Sempre analisamos as grandezas em relação àquela que possui a incógnita.

Exemplo 1

(UFPE) Dez guindastes carregam 180 caixas em um navio em 12 dias com 5 horas de trabalho diárias. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 12 guindastes, trabalhando 4 horas por dia?

a) 216

b) 214

c) 212

d) 210

e) 208

Solução:

Veja que o problema relaciona quatro grandezas, logo devemos usar a ideia da regra de três composta. Inicialmente vamos colocar os dados em uma tabela:

Número de guindaste	Número de caixas	Número de dias	Número de horas
10	180	12	5
12	x	15	4

Devemos comparar a grandeza que possui a incógnita com as demais grandezas, ou seja, vamos comparar o número de caixas com as demais.

Uma maneira de verificar se as grandezas são diretamente proporcionais ou não é supor o crescimento (↑) de uma delas. Caso aconteça o crescimento da outra grandeza, elas são diretamente proporcionais; caso contrário, são inversamente proporcionais. A mesma ideia vale para o decrescimento (↓).

Assim:

- À medida que aumentamos o número de caixas (↑), precisamos de mais guindastes (↑) – são diretamente proporcionais.

- Quanto mais caixa temos (↑), mais dias são necessários para carregar (↑) – são diretamente proporcionais.

- Quanto mais caixas (↑), mais horas são necessárias para realizar o carregamento (↑) – são diretamente proporcionais.

Note que o contexto da situação é levado em consideração todo o tempo. Para concretizar a regra de três, mantemos a ordem que aparece na tabela:

A regra de três composta é muito utilizada em situações de comparação proporcional envolvendo três ou mais grandezas.

Exemplo 2

Em uma lavoura de soja, duas máquinas carregam cinco caminhões em 2,5 horas. Supondo que o rendimento das máquinas mantenha-se nessa lavoura, determine quanto tempo será gasto para cinco máquinas carregarem 30 caminhões.

Solução

De maneira análoga ao exemplo anterior, devemos utilizar a regra de três composta, assim:

Número de máquinas	Número de caminhões	Tempo (horas)
2	5	2,5
5	30	x

Agora analisando a grandeza que possui a incógnita com as demais grandezas, temos:

- Quanto mais tempo temos (↑), menos máquinas são necessárias (↓) – grandezas inversamente proporcionais.

- Quanto maior o tempo de colheita (↑), mais caminhões são carregados (↑) – grandezas diretamente proporcionais.

Assim, é necessário inverter os valores da grandeza número de máquinas e manter a ordem dos valores da grandeza número de caminhões, logo temos que:

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Exercícios resolvidos

Exercício 1 – (Unifor) A Universidade de Fortaleza possui quatro gráficas que atendem a todo o seu corpo docente e discente desde as impressões simples às mais aprimoradas. Suponhamos que uma das gráficas possua 8 copiadoras igualmente produtivas, as quais, trabalhando 4 horas por dia, produzem em 5 dias 160.000 cópias. Quantos dias de trabalho serão necessários para que 7 dessas copiadoras, trabalhando 6 horas por dia, produzam 210.000 cópias?

Novamente colocando os dados em uma tabela, temos:

Número de copiadoras	Horas por dia de trabalho	Dias trabalhados	Quantidade de cópias
8	4	5	160.000
7	6	x	210.000

Veja que o número de copiadoras e dias trabalhados são inversamente proporcionais, e as horas por dia de trabalho e os dias trabalhados são também inversamente proporcionais. Já os dias trabalhados e a quantidade de cópias são diretamente proporcionais. Assim:

Exercício 2 – (Vunesp) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será:

a) 29

b) 30

c) 31

d) 33

e) 28

Solução

Como temos mais de duas grandezas, devemos utilizar a regra de três composta. Vamos colocar os dados na tabela levando em consideração as especificações do problema.

Número de funcionários	Horas trabalhadas por dia	Número de dias
10	8	27
8	9	x

- Quanto mais dias temos (↑), menos funcionários são necessários (↓) – inversamente proporcionais.

- Quanto mais dias temos (↑), menos horas são necessárias para trabalhar (↓) – inversamente proporcionais.

Logo, devemos inverter as outras duas grandezas:

Exercício 3 – Seis torneiras enchem uma piscina em 20 horas. Quanto tempo leva para 20 torneiras encherem 4 piscinas?

Solução

Número de torneiras	Número de piscinas	Tempo (horas)
6	1	20
20	4	x

- Quanto mais tempo temos (↑), menos torneiras são necessárias (↓) – inversamente proporcionais.

- Quanto mais o tempo passa (↑), mais piscinas podemos encher (↑) – diretamente proporcionais.

Exercício 4 – Em uma fábrica de bolachas, 3 máquinas produzem 9000 bolachas em 12 dias. Quantos dias são necessários para que 8 máquinas iguais produzam 12000 bolachas? Considere as horas de trabalho como iguais.