Grandezas diretamente proporcionais

Grandezas diretamente proporcionais são aquelas que mantêm uma relação de proporcionalidade direta. Isso significa que: quando o valor de uma aumenta, o valor da outra também aumenta na mesma proporção. Da mesma forma, se o valor de uma diminui, a outra também diminui proporcionalmente.

Em termos práticos, se uma grandeza cresce ou diminui n vezes, a outra acompanhará o mesmo fator n. Essas relações são comuns no cotidiano. Identificar grandezas diretamente proporcionais é fundamental para prever comportamentos e resolver problemas, permitindo uma análise mais precisa de situações práticas.

Leia também: Razão e proporção — relações matemáticas muito utilizadas em situações que envolvem grandezas

Resumo sobre grandezas diretamente proporcionais

• Classificamos duas grandezas como diretamente proporcionais quando ambas aumentam ou diminuem na mesma proporção.
• A regra fundamental da proporção afirma que, se as grandezas a, b, c e d são proporcionais, então temos a seguinte relação:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)

• Diferentemente das grandezas diretamente proporcionais, nas inversamente proporcionais, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui proporcionalmente.
• No nosso cotidiano, há várias grandezas que se relacionam de forma diretamente proporcional, como o preço total e a quantidade de produtos; a velocidade e a distância; e o consumo de combustível e a distância percorrida.

O que são grandezas diretamente proporcionais?

Vamos começar entendendo o que chamamos de grandeza. Grandeza é qualquer característica que pode ser medida, como peso, comprimento, velocidade, valor em dinheiro, volume, área, entre outros. No nosso dia a dia, lidamos constantemente com grandezas em diversas situações.

Existem casos em que é possível estabelecer uma relação entre duas ou mais grandezas. Por exemplo: o consumo de combustível de um carro e a distância que ele percorre; o peso de um alimento e o valor pago por ele; o número de pedidos e o tempo necessário para atendê-los; e a velocidade de um veículo e o tempo para percorrer um trajeto. Essas relações podem ser de diferentes tipos, como diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou até mesmo relações sem proporção definida.

Como fazer o cálculo de grandezas diretamente proporcionais?

Quando lidamos com grandezas diretamente proporcionais, podemos calcular valores desconhecidos para diversas situações. Por exemplo, se sabemos quantas páginas uma pessoa consegue ler por hora, podemos calcular quantas horas serão necessárias para ler um livro maior, utilizando a propriedade fundamental da proporção.

A regra fundamental da proporção afirma que, se as grandezas a, b, c e d são proporcionais, então temos a seguinte relação:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)

Ao multiplicar cruzado, encontramos que:

a ⋅ d = b ⋅ c

Essa é a propriedade fundamental da proporção, que diz que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 

Vejamos a aplicação em alguns exemplos:

Exemplo 1:

Kárita lê 25 páginas por hora. Supondo que ela mantenha o ritmo de leitura, se ela precisar ler um livro de 200 páginas, quantas horas ela levará para terminar a leitura?

Resolução:
A quantidade de tempo necessário para ler o livro é diretamente proporcional ao número de páginas. Vamos usar a proporção para calcular o tempo necessário. Então temos que:

\(\frac{25}{1} = \frac{200}{x} \)

Sendo que:

• 25 é o número de página que ela lê em 1 hora.
• 1 corresponde a 1 hora.
• 200 é o número de páginas do livro.
• x é o tempo que Kárita levará para ler o livro.

Multiplicando cruzado, temos que:

\(25x = 200 \cdot 1 \)

\(25x=200\)

\(x = \frac{200}{25} \)

\(x=8 \)

Serão necessárias 8 horas para que Kárita leia 200 páginas.

Exemplo 2:

Uma loja vende 3 camisetas por R$ 90. Quanto custarão 5 camisetas, considerando que o preço por unidade é constante?

Resolução:
Neste caso, o preço das camisetas é diretamente proporcional à quantidade comprada. Vamos aplicar a proporção para encontrar o valor total para 5 camisetas.

\(\frac{3}{90} = \frac{5}{x} \)

• 3 é a quantidade de camisetas.
• 90 é o preço para 3 camisetas.
• 5 é o número de camisetas das quais queremos saber o preço.
• x é o preço para 5 camisetas.

Resolvendo a equação:

\(3x = 90 \cdot 5\)

\(3x= 450 \)

\(x = \frac{450}{3} \)

\(x= 150\)

Exemplo 3

Um carro percorre 500 km com 25 litros de combustível. Quantos litros serão necessários para percorrer 300 km, considerando que o consumo é constante?

Resolução: Sabemos que a relação entre a distância percorrida e o combustível é diretamente proporcional, ou seja, se a distância aumenta, o consumo de combustível também aumenta na mesma proporção.

Utilizamos a regra da proporção:

\(\frac{500}{25} = \frac{300}{x} \)

• 500 é a distância inicial.
• 25 é o combustível utilizado para percorrer 500 km.
• 300 é a nova distância.
• x é o número de litros necessários para percorrer 300 km.

Resolvendo a equação, temos que:

\(500 x = 300 \cdot 25\)

\(500 x = 7500\)

\(x = \frac{7500}{500} \)

\(x= 15\ litros\)

Quais as diferenças entre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais?

De modo geral, a diferença entre elas está em:

• Diretamente proporcionais: Quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta (ou ambas diminuem ao mesmo tempo) na mesma proporção.
• Inversamente proporcionais: Quando uma grandeza aumenta, a outra diminui proporcionalmente, de modo que o produto entre elas se mantém constante.

As duas relações de proporcionalidade são bastante recorrentes no nosso cotidiano e igualmente importantes. Tivemos vários exemplos de grandezas diretamente proporcionais citados ao decorrer do texto; entretanto, um exemplo de grandezas inversamente proporcionais é a relação entre velocidade e tempo gasto para percorrer uma mesma distância. Se aumentamos a velocidade, o tempo gasto diminuirá de forma proporcional.

→ Videoaula sobre grandezas direta e inversamente proporcionais

Grandezas diretamente proporcionais no cotidiano

Existem várias situações no cotidiano que envolvem grandezas diretamente proporcionais. Veremos alguns exemplos a seguir:

• Preço total e quantidade de produtos: Se o preço de um produto for constante, o preço total aumentará conforme aumentará a quantidade de produtos comprados.
• Velocidade e distância percorrida: A distância percorrida aumenta proporcionalmente ao aumento da velocidade se o tempo for constante.
• Consumo de combustível e distância percorrida: O consumo de combustível aumenta conforme a distância percorrida por um veículo.
• Produção e número de máquinas: Em uma fábrica, se o número de máquinas aumenta, a produção total aumenta proporcionalmente, desde que todas as máquinas operem na mesma capacidade.
• Número de itens e quantidade de material necessário: Ao aumentar o número de itens produzidos, a quantidade de material necessário também aumenta proporcionalmente.
• Área de um quadrado e o comprimento de seu lado: A área de um quadrado aumenta conforme o aumento do comprimento de seu lado (a área é proporcional ao quadrado do lado).
• Número de páginas e tempo de leitura: O tempo de leitura aumenta proporcionalmente ao número de páginas a serem lidas se a velocidade de leitura for constante.
• Consumo de energia e tempo de uso de um aparelho: O consumo de energia de um aparelho aumenta conforme o tempo de uso.
• Quantia de tinta e área a ser pintada: A quantidade de tinta necessária para pintar uma superfície aumenta proporcionalmente à área a ser pintada.
• Número de quilômetros e tempo de viagem (com velocidade constante): O tempo de viagem aumenta proporcionalmente ao número de quilômetros percorridos se a velocidade for constante.
• Volume de água e tempo para encher um reservatório: Se o fluxo de água for constante, o volume de água no reservatório aumenta conforme o tempo de enchimento.

Leia também: Regra de três — método bastante utilizado para o cálculo de grandezas proporcionais

Exercícios resolvidos sobre grandezas diretamente proporcionais

Questão 1

Em uma fábrica, 4 trabalhadores fabricam 100 peças em 8 horas. Quantas peças serão fabricadas por 10 trabalhadores no mesmo tempo?

A) 120
B) 150
C) 180
D) 200
E) 250

Resolução:

Alternativa E

A produção é diretamente proporcional ao número de trabalhadores.

Então temos que:

\(\frac{4}{100} = \frac{10}{x} \)

\(4x= 100 ⋅10 \)

\(4x= 1000\)

\(x = \frac{1000}{4} \)

\(x= 250 \ peças\)

Questão 2

Heitor decidiu viajar para visitar sua avó, que mora em uma cidade que fica a 400 km da sua casa. Ele sabe que, na semana passada, para rodar 240 km, ele gastou 12 litros de combustível. Nessas condições, quantos litros de combustível serão necessários para que o Heitor chegue até a cidade de sua avó?

A)18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 25

Resolução:
Alternativa B

Sabemos que a distância e o consumo de combustível são grandezas diretamente proporcionais.

\(\frac{400}{x} = \frac{240}{12} \)

\(240 x = 400 \cdot 12\)

\(240x = 4800\)

\(x = \frac{4800}{240} \)

\(x= 20 \ litros\)

Fontes

MONTALVÃO, José Ruy Garcia. Matemática: Conteúdo e Prática – 8º e 9º anos. 1. ed. São Paulo: Editora FTD, 2015.

LIPPI DE FIGUEIREDO, Lúcia. Matemática - 7º ano. 1. ed. São Paulo: Editora Moderna, 2015.