Relação entre segmentos secantes na circunferência

Se uma circunferência é cortada por dois segmentos de reta secantes, é possível calcular algumas medidas desses segmentos usando a proporcionalidade. Para isso, a regra é a seguinte: A, B, C e D devem ser pontos de uma circunferência de raio r e centro O, e M deve ser um ponto fora dela, de forma que os segmentos AM e CM contenham os pontos B e D, respectivamente. Nesse caso, vale a proporção:

AM = DM
CM    BM

A circunferência descrita, juntamente aos segmentos e pontos, pode ser visualizada na imagem a seguir:

Usando a propriedade fundamental das proporções, também podemos afirmar que a proporção acima é equivalente a:

AM·BM = CM·DM

Exemplo:

Calcule o comprimento do segmento CM, secante à circunferência da imagem abaixo:

Usando a igualdade resultante da propriedade fundamental das proporções, substituindo as medidas dos respectivos segmentos e fazendo DM = x, temos:

AM·BM = CM·DM

180·100 = (110 + x)·x

18000 = 110x + x²

x² + 110x – 18000 = 0

Usando o método de completar quadrados, podemos resolver essa equação do segundo grau da seguinte maneira:

x² + 110x – 18000 = 0

x² + 110x – 18000 + 21025 = 21025

x² + 110x + 3025 = 21025

(x + 55)² = 21025

√[(x + 55)²] = √(21025)

x + 55 = ± 145

x = ± 145 – 55

x’ = 145 – 55 = 90
x’’ = – 145 – 55 = – 200

Lembre-se de que essa equação também pode ser resolvida usando fórmula de Bháskara. Observe que o resultado negativo não é válido, pois x = DM, que é um segmento de reta, portanto:

x = DM = 90 cm.

Como o exercício pediu o comprimento de CM = CD + DM, temos:

CM = 110 + 90 = 200 cm

Demonstração da propriedade

Para demostrar essa relação envolvendo segmentos secantes, considere a mesma circunferência e segmentos dados no início do texto: circunferência de centro O que possui os pontos ABC e D e o ponto M fora dela, tais que os segmentos AM e CM também contenham os pontos B e D, respectivamente. Essa construção é ilustrada na imagem abaixo:

Observe que, traçando os segmentos CB e AD, podemos formar dois triângulos: AMD e CMB. Esses dois triângulos são semelhantes, pois:

1 – O ângulo M é comum para os dois triângulos;

2 – Os ângulos A e C são congruentes, pois são inscritos e representam o mesmo arco.

Assim, pelo caso de semelhança ângulo-ângulo, os triângulos AMD e CMB são semelhantes, por isso, seus lados correspondentes são proporcionais. Como o triângulo AMD está invertido verticalmente com relação ao outro, temos a seguinte proporção entre seus lados:

AM = DM
CM    BM