Subconjuntos dos números naturais

O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros positivos e o zero. Esse conjunto é comumente representado pela letra N maiúscula e contém infinitos números, pois todo número natural possui sucessor. Um subconjunto é a reunião de alguns dos elementos de um determinado conjunto.

Matematicamente, o conjunto dos números naturais é representado da seguinte maneira:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Um exemplo de subconjunto dos naturais é:

{0, 1, 2}: conjunto dos três primeiros números naturais

Subconjuntos notáveis

Os subconjuntos dos números naturais mais importantes são os seguintes:

• Conjunto vazio

É o conjunto dos números naturais que não possui nenhum elemento. Todo conjunto numérico possui o conjunto vazio como subconjunto.

• O próprio conjunto dos naturais

Outra propriedade dos conjuntos é a seguinte: todo conjunto numérico é subconjunto de si mesmo. Assim, por mais estranho que pareça, o conjunto dos números naturais é também subconjunto dos números naturais.

• Conjunto dos números naturais pares

O conjunto dos números naturais pares é formado por todos os números que resultam de uma multiplicação por 2. Esse conjunto também pode ser compreendido como o dos divisores não negativos de 2. Matematicamente, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma:

p = 2n ( n é um número natural)

O conjunto dos números naturais pares pode ser representado da seguinte maneira:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, …}

• Conjunto dos números naturais ímpares

Esse conjunto é formado por todos os números naturais que não são pares. Todo número ímpar pode ser escrito na forma:

i = 2n + 1

ou

i = 2n – 1

Dessa maneira, o conjunto dos números ímpares é composto pelos seguintes elementos:

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

O número 1141 é par ou ímpar?

Para resolver esse problema, basta dividir o 1141 por 2. Se a divisão for exata, o número é par, caso contrário, é ímpar.

1141 |  2  
– 10     570    
14        
– 14          
01    
– 00       
1   

Como a divisão deixa resto 1, ela não é exata. O número 1141 pode ser escrito da seguinte maneira:

1141 = 2·570 + 1

Ele está na forma 2n + 1 e, por isso, é ímpar.

• Subconjuntos formados por múltiplos de números naturais

É possível formar um subconjunto de múltiplos para cada número natural que existe. Os mais conhecidos são os dos múltiplos dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, que compõem a tabuada.

• Conjunto dos números primos

O conjunto dos números primos é um subconjunto dos números naturais formado apenas por elementos que não são divisíveis por nenhum número além dele mesmo e por 1. Esse conjunto é composto pelos seguintes elementos:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}

O conjunto dos números primos também é infinito, mas não apresenta uma lei de formação para seus elementos. Caso seja necessário descobrir se um número é primo, será preciso testar sua divisibilidade para quase todos os seus antecessores naturais.