Transformações trigonométricas: fórmulas de adição

As transformações trigonométricas são fórmulas que podem ser usadas para calcular algumas das operações básicas envolvendo razões trigonométricas, como o seno da soma de dois ângulos.

Em trigonometria, o seno, cosseno ou tangente da soma (ou subtração) de dois arcos não pode ser feita com as mesmas regras dos números reais. Observe, por exemplo, o seno da adição entre dois ângulos de 30°:

Sen(30° + 30°) = sen60° = √3
                                       2

Agora, se tentarmos fazer a soma separadamente, encontraremos o seguinte resultado:

Sen(30° + 30°) = sen30° + sen30° = 1 + 1 = 1
                                                2    2

Cada uma das somas tem um resultado, mas apenas uma está correta e é a primeira, em que sen(30° + 30°) = sen60°. Para garantir a forma correta e possibilitar outros cálculos dentro da trigonometria, existem as fórmulas de adição de arcos.

Os valores dos senos, cosseno e tangentes dos ângulos em questão podem ser obtidos na tabela de valores trigonométricos a seguir:

Caso os ângulos não sejam esses, uma tabela completa com as razões trigonométricas pode ser encontrada clicando aqui.

Fórmulas do seno da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu seno da soma é dado pela seguinte expressão:

sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

Já o seno da diferença desses dois arcos é dado pela seguinte expressão:

sen(a – b) = sena·cosb – senb·cosa

Exemplo:

sen75° = sen(45° + 30°) = sen45°·cos30° + sen30°·cos45°

sen75° = √2·√3 + 1·√2
               2   2     2  2 

sen75° = √(2·3) + √2
                2        2

sen75° = √6 + √2
             2

Fórmulas do cosseno da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu cosseno da soma é dado pela seguinte expressão:

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

Já o cosseno da diferença desses dois arcos é dado pela expressão:

cos(a – b) = cosa·cosb + sena·senb

Exemplo:

Cos15° = cos(45° – 30°) = cos45°·cos30° + sen45°·sen30°

Cos15° = √2·√3 + √2·1
                2   2      2  2

Cos15° = √2√3 + √2
                2        2

Cos15° = √(2·3) + √2
                 2        2

Cos15° = √6 + √2
               2

Fórmulas da tangente da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos, a e b, sua tangente da soma é dada pela fórmula a seguir:

tg(a + b) = tga + tgb
                1 – tga·tgb

A tangente da diferença desses dois arcos é dada pela seguinte expressão:

tg(a – b) = tga – tgb
               1 + tga·tgb