Cálculos envolvendo meia-vida

Os cálculos que envolvem meia-vida são muito utilizados em diversas áreas do conhecimento científico, como Arqueologia, Farmácia, Medicina etc. Esses cálculos destacam-se na determinação de algumas medidas relacionadas a um material radioativo, como as seguintes:

• Tempo de decaimento de um material radioativo;
• Porcentagem do material radioativo restante após um tempo de decaimento;
• Tempo da meia-vida do material radioativo;
• Idade de um material radioativo.

Por envolver raciocínio matemático, podemos utilizar as fórmulas a seguir para a realização dos cálculos envolvendo a meia-vida:

• 1ª Fórmula:

t = P.x

Nessa fórmula, (t) é o tempo de desintegração do material radioativo, (P) é a meia-vida e (x) é o número decorrido de meias-vidas pelo material.

• 2ª Fórmula:

m = m_o 
      2^x

Na fórmula acima, (m) é a massa restante, (mo) é a massa inicial e (x) é número decorrido de meias-vidas.

Obs.: Com essa fórmula, podemos ainda obter a porcentagem do material radioativo e o número de partículas. Para isso, em vez da massa, é só utilizar a fórmula para encontrar essas outras medidas.

Cálculo envolvendo meia-vida e massa restante do material radioativo

Nesse tipo de cálculo, três dados são importantes:

• Meia-vida;
• Massa inicial;
• Tempo decorrido.

Exemplo: (PUC-Camp-SP) O iodo-125, variedade radioativa do iodo com aplicações medicinais, tem meia-vida de 60 dias. Quantos gramas de iodo-125 restarão após seis meses a partir de uma amostra contendo 2,00 g do radioisótopo?

a) 1,50

b) 0,75

c) 0,66

d) 0,25

e) 0,10

• Meia-vida (P) = 60 dias
• Tempo decorrido (t) = 6 meses ou 180 dias (multiplicando 6 por 30 dias)
• Massa inicial (m_o) = 2 g
• Massa restante (m) = ?

Para realizar esse cálculo, basta realizar os seguintes passos:

⇒ 1^o Passo: Calcular o número de meias-vidas.

Utilizar o valor da meia-vida e o tempo decorrido na expressão a seguir:

t = P.x

180 = 60.x

x = 180
      60

x = 3

⇒ 2^o Passo: Calcular a massa restante.

Utilizar a massa inicial e o número de meias-vidas na seguinte fórmula:

m = m_o 
      2^x

m = 2 
       2³

m = 2 
     8

m = 0,25 g

Cálculo da determinação da meia-vida a partir da massa

Nesse tipo de cálculo, são importantes três dados:

• Massa final;
• Massa inicial;
• Tempo decorrido.

Exemplo: (Unip) Um isótopo de iodo radioativo é muito usado para diagnóstico de doenças de glândula tireoide. A partir de 1 g desse isótopo, após 24 dias, sobra 1/8 g dele. Qual é a meia-vida desse isótopo?

a) 24 dias

b) 8 dias

c) 12 dias

d) 16 dias

e) 4 dias

• Meia-vida (P) = ?
• Tempo decorrido (t) = 24 dias
• Massa inicial (m_o) = 1 g
• Massa restante (m) = 1/8 g ou 0,125 g

Para realizar esse cálculo, basta realizar os seguintes passos:

⇒ 1^o Passo: Calcular o número de meias-vidas.

Utilizar a massa inicial e o número de meias-vidas:

m = m_o 
      2^x

0,125 = 1 
           2^x

2^x =    1    
      0,125

2^x = 8

Após realizar a potenciação do número oito para que ele tenha a mesma base dois existente do lado esquerdo da igualdade, temos que:

2^x = 2³

x = 3

⇒ 2^o Passo: Calcular a meia-vida.

Utilizar o valor do número de meias-vidas e o tempo decorrido na expressão a seguir:

t = P.x

24 = P.3

P = 24
      3

x = 8 dias

Cálculos envolvendo meia-vida e porcentagem residual

Nesse tipo de cálculo, são importantes dois dados:

• Tempo decorrido;
• Meia-vida.

Obs.: Como é utilizada a porcentagem, a porcentagem inicial de uma amostra radioativa é sempre igual a 100 %.

Exemplo: (UFPI) Um elemento radioativo tem um isótopo cuja meia-vida é 250 anos. Qual a porcentagem da amostra inicial desse isótopo que existirá após 1000 anos?

a) 1,25%

b) 4%

c) 6,25%

d) 12,5%

e) 25%

• Meia-vida (P) = 250 anos
• Tempo decorrido (t) = 1000 anos
• Porcentagem restante = ?

Para realizar esse cálculo, basta realizar os seguintes passos:

⇒ 1^o Passo: Calcular o número de meias-vidas.

Utilizar o tempo decorrido e a meia-vida:

t = P.x

1000 = 250.x

x = 1000
      250

x = 4

⇒ 2^o Passo: Calcular a porcentagem restante.

Utilizar a massa inicial e o número de meias-vidas:

p = p_o 
     2^x

p = 100 
    2⁴

p = 100 
    16

p = 6,25 %

Cálculo envolvendo meia-vida e idade de um material

Exemplo: (UFPI) A análise de uma amostra de um meteorito indicou que ele contém três átomos de chumbo ₈₂Pb²⁰⁶ para cada átomo de ₉₂U²³⁸. Considerando que nenhum ₈₂Pb²⁰⁶ estaria presente na formação do meteorito e que ele é formado pelo decaimento radioativo do ₉₂U²³⁸, cuja meia-vida é 4,5 . 10⁹ anos, indique a alternativa correta para a idade do meteorito:

a) 4,5 . 10⁹ anos

b) 9,0 . 10⁹ anos

c) 13,5 . 10⁹ anos

d) 18,0 . 10⁹ anos

e) 22,3 . 10⁹ anos

• Meia-vida (P) = 4,5 . 10⁹ anos
• Átomos iniciais = 4
• Átomo final = 1

Para realizar esse cálculo, basta realizar os seguintes passos:

⇒ 1º Passo: Interpretar o enunciado.

O enunciado do exercício informa que há três átomos de chumbo (Pb) para cada átomo de Urânio (U). Assim, se em quatro átomos, ou seja, 100% (um inteiro), apenas um é de urânio, há, portanto, 25% (1 para 4) desse elemento.

⇒ 2º Passo: Calcular o número de meias-vidas.

Utilizar a definição de meia-vida, que é o período em que uma amostra perde metade da sua radiação. Assim, se temos 100% de uma amostra, após uma meia-vida, restarão 50% dela. Após mais uma meia-vida, haverá 25% dela. Em outras palavras, passaram-se duas meias-vidas no decaimento da amostra de 100% para 25%.

⇒ 3º Passo: Determinação da idade do meteorito.

Como o decaimento envolveu a passagem de duas meias-vidas, basta multiplicar esse número pela meia-vida fornecida:

Idade = 2 . 4,5 . 10⁹ anos

Idade = 9. 10⁹ anos

Cálculo envolvendo meia-vida e gráficos

Nesse tipo de situação, os cálculos envolvendo a meia-vida serão realizados a partir de informações retiradas do gráfico e do texto do exercício. Lembre-se de que a meia-vida sempre é determinada de forma simples, com a análise no gráfico, uma vez que se trata do tempo necessário para a redução de 50% (da massa, da fração, etc.) do material radioativo.

Exemplo: (Unicamp-SP) O césio 137 é um isótopo radioativo produzido artificialmente. O gráfico a seguir indica a porcentagem desse isótopo em função do tempo.

a) Qual a meia-vida desse isótopo?

b) Decorridos 80 anos da produção do isótopo, qual a sua radioatividade residual?

Resoluções:

a) Para determinar a meia-vida do césio, basta marcar um ponto entre 60 e 40 no eixo y (onde fica a porcentagem) do gráfico, ir até a curva e, em seguida, descer em direção ao eixo x (onde fica o tempo).

Ao realizar esse procedimento, obtemos que a meia-vida do césio é de aproximadamente 30 anos.

b) A resolução da letra b segue o mesmo padrão descrito na letra a, porém, como há o tempo determinado (80 anos), inciamos a partir do 80 no eixo x, seguimos em direção à curva e, por fim, tracejamos até o eixo y.

Ao realizar esse procedimento, obtemos que a porcentagem restante do césio é de aproximadamente 15%.