Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é uma equação da Mecânica Clássica formulada no século XVII pelo cientista e professor Evangelista Torricelli com o intuito de calcular as grandezas físicas velocidade inicial, velocidade final, deslocamento e aceleração quando não se tem informações a respeito do tempo.

Leia também: Evangelista Torricelli — detalhes sobre a trajetória desse importante nome ligado à Física

Resumo sobre a equação de Torricelli

• A equação de Torricelli é uma fórmula proposta no século XVII pelo cientista Evangelist Torricelli.
• A equação de Torricelli, no movimento uniformemente variado (MUV), é vf2=vi2+2∙a∙∆x .
• A equação de Torricelli, no movimento circular uniformemente variado (MCUV), é ωf2=ω02+2∙α∙∆φ .
• A determinação da equação de Torricelli é feita através da junção da função horária da velocidade no MUV com a função horária da posição no MUV.
• O gráfico da equação de Torricelli é dado por uma reta crescente. Por meio dele, podemos calcular a variação de deslocamento do corpo.
• O teorema de Torricelli é uma aplicação do princípio de Bernoulli, estudado na Hidrodinâmica.

Videoaula sobre a equação de Torricelli

O que é a equação de Torricelli?

A equação de Torricelli é uma equação da Mecânica Clássica formulada no século XVII pelo cientista e professor Evangelista Torricelli. Ela possibilita a descoberta da velocidade final, da velocidade inicial, da variação de deslocamento e da aceleração de um corpo que descreve um movimento uniformemente variado (MUV) ou um movimento circular uniformemente variado (MCUV) quando não se sabe o tempo decorrido.

Qual é a equação de Torricelli?

→ Equação de Torricelli no movimento uniformemente variado (MUV)

\(v_f^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x \)

• ∆x  → deslocamento ou variação de posição (ou de deslocamento), medida em metros [m].
• v_f  → velocidade final, medida em [m/s].
• v_i  → velocidade inicial, medida em [m/s].
• a  → aceleração, medida em [m/s²] .
• ∆x  → variação de deslocamento, medida em metros m .

→ Equação de Torricelli no movimento circular uniformemente variado (MCUV)

\(\omega_f^2 = \omega_0^2 + 2 \cdot \alpha \cdot \Delta \)φ

• ω_f  → velocidade angular final, medida em radianos por segundo [rad/s] .
• ω₀ → velocidade angular incial, medida em radianos por segundo [rad/s] .
• α  → aceleração angular, medida em [rad/s²] .
• ∆φ  → variação do deslocamento angular, medida em radianos [rad] .

Veja também: Equação de Bernoulli — a representação matemática do princípio de Bernoulli

Como é a determinação da equação de Torricelli?

Para determinar a equação de Torricelli, é necessário combinar a função horária da velocidade no MUV com a função horária da posição no MUV.

A função horária da velocidade no MUV é:

v_f = v_i + a ∙ t

• v_f  → velocidade final, medida em m/s.
• v_i  → velocidade inicial, medida em m/s.
• a  → aceleração, medida em [m/s²].
• t  → tempo, medido em segundos [s].

A função horária da posição no MUV é:

\(x_f = x_i + v_i \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} \)

• x_f  → posição final, medida em metros [m].
• x_i  → posição inicial, medida em metros [m].
• v_i  → velocidade inicial, medida em [m/s] .
• a  → aceleração, medida em [m/s²] .
• t  → tempo, medido em segundos [s] .

Primeiramente, isolamos o tempo t na função horária da velocidade:

\(v_f = v_i + a \cdot t \)

\(t = \frac{v_f - v_i}{a} \)

Depois, substituiremos essa expressão na função horária da posição:

\(x_f = x_i + v_i \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} \)

\(x_f = x_i + v_i \cdot (\frac{v_f - v_i}{a}) + \frac{a}{2} \cdot t^2 \)

\(x_f = x_i + v_i \cdot (\frac{v_f - v_i}{a}) + \frac{a}{2} \cdot \left( \frac{v_f - v_i}{a} \right)^2 \)

Fazendo o produto notável do terceiro termo, temos:

\(x_f = x_i + v_i \cdot (\frac{v_f - v_i}{a}) + \frac{a}{2} \cdot \frac{v_f^2 - 2 \cdot v_f \cdot v_i + v_i^2}{a^2} \)

Fazendo a distributiva do segundo termo e mais algumas manipulações algébricas, temos:

\(x_f - x_i = \frac{v_i \cdot v_f - v_i \cdot v_i}{a} + \frac{v_f^2 - 2 \cdot v_f \cdot v_i + v_i^2}{2a} \)

\(x_f - x_i = \frac{v_i \cdot v_f}{a} - \frac{v_i^2}{a} + \frac{v_f^2}{2a} - \frac{2 \cdot v_f \cdot v_i}{2a} + \frac{v_i^2}{2a} \)

\(x_f - x_i = \frac{v_i \cdot v_f}{a} - \frac{v_i^2}{a} + \frac{v_f^2}{2a} - \frac{v_f \cdot v_i}{a} + \frac{v_i^2}{2a} \)

\(x_f - x_i = -\frac{v_i^2}{a} + \frac{v_f^2}{2a} + \frac{v_i^2}{2a} \)

\(x_f - x_i = \frac{v_i^2}{2a} - \frac{v_i^2}{a} + \frac{v_f^2}{2a} \)

\(x_f - x_i = -\frac{v_i^2}{2a} + \frac{v_f^2}{2a} \)

\(x_f - x_i = \frac{(v_f)^2 - (v_i)^2}{2 \ \cdot \ a} \)

\(v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot (x_f - x_i) \)

\(v_f^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x \)

Gráfico da equação de Torricelli

O gráfico da equação de Torricelli descreve uma reta crescente, mostrando que a velocidade do corpo aumenta constantemente com o tempo, o que significa que não temos variação da sua aceleração, conforme descrito na imagem abaixo:

Por meio desse gráfico, podemos obter a variação de deslocamento do corpo, que é igual à área do trapézio descrito pelo gráfico, calculado através da seguinte fórmula:

\(A = \frac{(B+b)\ \cdot \ h}{2} \)

• A  → área do trapézio, medida em metros quadrados [m2 ].

• B  → base maior do trapézio, medida em metros [m ].

• b  → base menor do trapézio, medida em metros [m ].

• h  → altura do trapézio, medida em metros [m ].

Equação de Torricelli x teorema de Torricelli

A equação de Torricelli e o teorema de Torricelli são dois conceitos estudados na Física, mas em área diferentes. Enquanto a equação de Torricelli é estudada na Cinemática para determinar a velocidade inicial, a velocidade final, a aceleração, o deslocamento linear e o deslocamento angular de um corpo, o teorema de Torricelli é estudado na Hidrodinâmica, como uma aplicação do princípio de Bernoulli, para a investigação do escoamento de um líquido, no interior de um recipiente, por um pequeno orifício, sob a atuação da gravidade.

Origem e história da equação de Torricelli

A equação de Torricelli foi formulada no século XVII pelo professor, matemático e físico Evangelista Torricelli (1608 – 1647), discípulo do astrônomo e físico Galileu Galilei (1564-1642). Além da equação de Torricelli, Torricelli também criou o barômetro, equipamento de medição da pressão atmosférica, e foi um grande estudioso das áreas de Óptica e de Cinemática da Física.

Acesse também: Como era o barômetro de Torricelli?

Exercícios resolvidos sobre equação de Torricelli

Questão 1

(FPS) Um automóvel percorre uma rodovia com velocidade inicialmente constante igual a 80 km/h. O motorista do veículo avista um radar e reduz sua velocidade para 60 km/h, percorrendo nesse trajeto uma distância igual a 20 m. O módulo da desaceleração sofrida pelo automóvel nesse percurso foi de aproximadamente:

A) 5,4 m/s²

B) 7,5 m/s²

C) 2,5 m/s²

D) 11 m/s²

E) 15 m/s²

Resolução:

Alternativa A.

Primeiramente, converteremos as velocidades de km/h para m/s:

\(\frac{80}{3,6} \cong 22,22 \, \text{m/s} \)

\(\frac{60}{3,6} \cong 16,66 \, \text{m/s} \)

Por fim, calcularemos a desaceleração através da equação de Torricelli:

\(v_f^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x \)

16,66² = 22,222 + 2 ∙ a ∙ 20

277,77 = 493,82 + 40 ∙ a

277,77 - 493,82 ≅ 40 ∙ a

- 216,05 ≅ 40 ∙ a

\(a \cong \frac{-216,05}{40} \)

a ≅-5,40 m/s²

Questão 2

(Uneb) Uma partícula, inicialmente a 2 m/s, é acelerada uniformemente e, após percorrer 8 m, alcança a velocidade de 6 m/s. Nessas condições, sua aceleração, em metros por segundo ao quadrado, é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução:

Alternativa B.

Calcularemos a aceleração da partícula através da equação de Torricelli:

\(v_f^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x \)

62 = 22 + 2 ∙ a ∙ 8

36 = 4 + 16 ∙ a

36 - 4=16 ∙ a

32 = 16 ∙ a

\(a = \frac{32}{16} \)

a=2 m/s2

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.