Equação de Torricelli

No estudo do movimento uniformemente variado, a equação de Torricelli possui extrema importância por ser a única a relacionar espaço percorrido, velocidade e aceleração de um móvel sem depender do tempo. Essa equação leva o nome do físico italiano Evangelista Torricelli, responsável por importantes invenções e descobertas científicas no século XVII.

• Demonstração da equação de Torricelli

Partindo da função horária da velocidade, temos:

v = v₀ + a.t

Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado:

v² = (v₀ + a.t)²

Agora desenvolveremos o produto notável (v₀ + a.t)², de forma que:

v² = v₀² + 2.v₀.a.t + a²t²

Para os dois últimos termos da função, isolaremos o fator 2a:

v² = v₀² + 2a (v₀.t + ½ a.t²)
Equação A

De posse da equação A, partiremos para a função horária da posição no movimento uniformemente variado:

S = S₀ + v₀.t + ½ a.t²

S – S₀ = v₀.t + ½ a.t²

Como S – S₀ = ΔS, temos:

ΔS = v₀.t + ½ a.t²
Equação B

Finalmente substituiremos a equação B na equação A:

v² = v₀² + 2a (v₀.t + ½ a.t²)

v² = v₀² + 2aΔS
Equação de Torricelli

Perceba que não existe dependência do tempo, pois os termos da equação são a velocidade final do móvel (v), velocidade inicial do móvel (v₀), aceleração (a) e espaço percorrido (ΔS).

• O nome “Equação” de Torricelli não é adequado!

O termo equação não é correto porque o que temos acima é uma correspondência entre elementos, e não uma igualdade satisfeita apenas por alguns valores. Portanto, deveríamos chamar o termo acima de função de Torricelli, mas, tradicionalmente, mesmo que não seja a forma adequada, essa expressão é reconhecida como equação de Torricelli.

• Exemplo numérico

Um móvel partindo do repouso possui aceleração constante e igual a 5 m/s². Determine o espaço percorrido pelo móvel quando a sua velocidade for igual a 72 km/h.

Resolução:

Anotando os dados da questão, temos:

a = 5 m/s²

v = 72 Km/h ÷ 3,6 = 20 m/s

v₀ = 0 (Móvel partindo do repouso)

ΔS = ?

Substituindo os valores acima na equação de Torricelli, temos:

v² = v₀² + 2aΔS

20² = 0 + 2.5.ΔS

400 = 10.ΔS

ΔS = 40 m