Lentes Esféricas

  Lentes esféricas são sistemas ópticos capazes de promover a refração da luz visível. São formadas por meios ópticos homogêneos e transparentes, que também podem ser chamados de dioptros esféricos. Dividem-se em lentes côncavas e convexas, que são, respectivamente, lentes de bordas largas e lentes de bordas finas.

O índice de refração e a geometria das lentes esféricas alteram a direção de propagação dos raios de luz. Dessa forma, elas são capazes de produzir imagens tanto virtuais como reais. Além disso, a capacidade de uma lente defletir os raios de luz é chamada de vergência ou dioptria, propriedade popularmente conhecida como o “grau” da lente.

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Propriedades das lentes esféricas

As propriedades das lentes esféricas podem variar de acordo com o meio em que elas se encontram. Quando inseridas em um meio cujo índice de refração é menor que o da própria lente, as lentes convexas convergem a luz, enquanto as lentes côncavas divergem a luz, assim como mostra a figura a seguir:

No meio de cada lente é possível ver traços com setas para dentro e para fora. Esses símbolos são usados para representar as lentes de bordas finas (convexas) e de bordas largas (côncavas). Ao todo, existem três formatos de lentes côncavas e três formatos de lentes convexas. Confira sua nomenclatura:

O formato das lentes interfere em sua capacidade de desviar a trajetória da luz. Esse comportamento das lentes é explicado pela equação de Halley, que será mostrada mais adiante neste texto.

Para que servem as lentes esféricas?

As lentes esféricas são utilizadas para correção de problemas da visão, como a miopia, astigmatismo, hipermetropia etc. Além disso, são indispensáveis para o funcionamento de diversos instrumentos ópticos, como microscópios, telescópios, lunetas, binóculos, lupas, entre outros.

Elementos geométricos das lentes esféricas

Toda lente esférica, seja ela côncava, seja convexa, apresenta elementos geométricos em comum, sendo eles:

• centro óptico (O);

• foco principal objeto e foco principal imagem (F e F');

• foco antiprincipal objeto e foco antiprincipal imagem, também conhecidos como centros de curvatura no caso dos espelhos esféricos (A e A' ou C e C').

A figura a seguir mostra onde ficam os elementos geométricos de uma lente esférica qualquer, observe:

Com base na imagem acima, dizemos que a distância entre o centro óptico da lente e o foco principal objeto é chamada de distância focal (f); do mesmo modo, a distância entre o centro óptico e o foco antiprincipal objeto é chamado de raio de curvatura.

Na figura acima, também é possível observar uma linha horizontal que separa a lente em duas partes. Essa linha é chamada de eixo de simetria e é a partir dela que é construído o referencial de Gauss, usado para definir a convenção de sinais das lentes esféricas. De acordo com o referencial de Gauss:

• qualquer ponto ou elemento que esteja localizado acima do eixo de simetria possui sinal positivo;
• qualquer ponto ou elemento localizado abaixo do eixo de simetria possui sinal negativo;
• qualquer ponto ou elemento localizado à direita do centro óptico da lente possui sinal positivo;
• qualquer ponto ou elemento localizado à esquerda do centro óptico da lente possui sinal negativo.

A figura a seguir nos auxiliará a entender a convenção de sinais segundo o referencial de Gauss. Confira:

Além das convenções arbitradas pelo referencial de Gauss, há algumas informações úteis que podem ser levadas em conta na hora de resolver exercícios. Tanto o foco principal quanto o foco antiprincipal das lentes divergentes, como as lentes côncavas, são negativos. Além disso, quando o tamanho da imagem (i) tiver o sinal negativo, isso indicará que ela está invertida. Por fim, se descobrirmos que a posição de uma imagem (p') é positiva, isso indica que essa imagem é real; do contrário, se a posição da imagem fosse negativa, essa imagem seria virtual.

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Raios notáveis

Os raios notáveis são necessários para entendermos como funciona a formação de imagens nas lentes esféricas. Trata-se de raios de luz que sempre são refratados sobre certos elementos geométricos específicos das lentes esféricas. Além disso, faz-se necessário relembrar um dos princípios da óptica geométrica: a reversibilidade dos raios de luz. Quando desenhamos um raio de luz indo de um ponto a outro, esse raio tanto pode estar fazendo o caminho de “ida” quanto o de caminho “volta”.

De acordo com a imagem acima, todo raio de luz que:

• I - incide paralelamente ao eixo de simetria é refratado em cima do foco principal (F); / incide sobre o foco principal é refratado paralelamente ao eixo de simetria.
• II - incide sobre o foco antiprincipal objeto (A) é refratado sobre o foco principal imagem (A'); / incide sobre o foco antiprincipal imagem (A') é refratado sobre o foco antiprincipal objeto (A).
• III- incide sobre o centro óptico é refratado sem sofrer nenhum desvio lateral.

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Formação de imagens nas lentes esféricas

A formação de imagens nas lentes esféricas exige que tracemos os raios de luz notáveis que são refratados através da lente. A imagem é sempre formada no ponto onde dois raios de luz refratados se cruzam. Quando a imagem é formada do mesmo lado que o objeto, essa imagem é qualificada como virtual; quando a imagem for formada no lado da lente oposto ao objeto, será real.

Confira aqui quais são as características das imagens reais e virtuais:

• Imagem real: pode ser projetada, é invertida e formada pelo cruzamento de pelo menos dois raios de luz.

• Imagem virtual: toda imagem virtual não pode ser projetada, é direita e formada pelo cruzamento de prolongamentos dos raios de luz.

Além disso, a formação de imagens nas lentes esféricas depende da posição do objeto em relação ao centro óptico da lente e também do formato da lente, que tanto pode ser côncava quanto convexa. Para as lentes côncavas, só há um caso de formação de imagem: todas as imagens formadas por lentes côncavas são virtuais, formadas pelo cruzamento de prolongamentos de raios de luz e sempre menores que o objeto da imagem.

p e p' – posições do objeto e da imagem

o – altura do objeto

i – altura da imagem

No caso das lentes de bordas finas, a formação de imagens é mais complexa e envolve um total de cinco casos. Vamos analisá-los um a um, começando pela situação em que um objeto está distante da lente e de seu foco antiprincipal. Nesse caso, a imagem formada é invertida, real, formada pelo cruzamento dos raios de luz e menor que o objeto.

Quando o objeto é aproximado da lente e é colocado exatamente sobre o foco antiprincipal, a imagem formada é real, invertida e de mesmo tamanho que o objeto. Observe:

Aproximando o objeto um pouco mais em relação à lente, ele ficará entre o foco antiprincipal e principal, respectivamente. Nesse caso, a imagem conjugada pela lente será real, invertida e cada vez maior, de acordo com a aproximação.

Quando o objeto é colocado a uma distância do centro óptico da lente convexa que coincide com sua distância focal, ou seja, quando o objeto é disposto em cima do foco principal, não há formação de imagem, uma vez que os raios de luz refratados pela lente são paralelos e, portanto, não se cruzam. Nesse caso, dizemos que a imagem é imprópria e que é formada no infinito.

O último caso é aquele em que o objeto é colocado próximo da lente convexa, entre o foco principal e o centro óptico. Nesse caso, os raios de luz refratados são divergentes, por isso a imagem formada é virtual, formada pelo cruzamento de prolongamentos de raios de luz e maior que o objeto.

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Vergência, dioptria e justaposição de lentes esféricas

Vergência é a medida da capacidade de uma lente de desviar a trajetória da luz. É simbolizada pela letra C, e sua unidade de medida é a dioptria (di), que equivale a m^-1. Uma vergência positiva indica que a lente é convergente, enquanto uma vergência negativa indica que ela é divergente. A vergência de uma lente pode ser facilmente calculada se soubermos a distância focal da lente.

Justaposição de lentes esféricas

A justaposição de lentes esféricas é o processo de combinar diferentes lentes, de modo a se obter distintas configurações de vergência. Além disso, esse processo é usado para reduzir um efeito chamado de aberração cromática, mas também pode ser usado para aumentar o efeito obtido por uma única lente.

A aberração cromática acontece quando a luz percorre um grande caminho no interior de uma lente, fazendo com que a luz refratada pela lente sofra dispersão, separando, assim, suas componentes, assim como ocorre com a luz que passa através de um prisma.

A figura a seguir mostra a justaposição de duas lentes esféricas de vergências C₁ e C₂. A vergência equivalente dessa combinação é igual à soma das vergências individuais.

Fórmulas das lentes esféricas

As principais fórmulas usadas para resolver exercícios sobre as lentes esféricas utilizam as variáveis:

• f – distância focal;
• p e p' – posição do objeto e da imagem;
• o – tamanho do objeto;
• i – tamanho da imagem;
• A – aumento linear transversal ou ampliação;
• R – raio de curvatura;
• C – vergência.

A fórmula mais básica das lentes esféricas é conhecida como aumento linear transversal ou ampliação. A ampliação da lente pode ser calculada por meio de três fórmulas diferentes, que podem ser combinadas entre si. Confira:

Além da fórmula acima, há também uma fórmula conhecida como equação dos pontos conjugados ou equação de Gauss. Veja:

A fórmula a seguir é utilizada para calcular a vergência ou o grau das lentes esféricas:

Por fim, a fórmula a seguir, conhecida como equação de Halley ou equação do fabricante de lentes, é utilizada para determinar a vergência de uma lente esférica com base no índice de refração do material da lente e do meio em que a lente encontra-se imersa (ar, por exemplo), além dos raios de curvatura das faces externa e interna da lente. Confira:

Exercícios resolvidos sobre lentes esféricas

Questão 1 - Um objeto de 10 cm é colocado a 15 cm de uma lente esférica convexa de distância focal igual a 5 cm. Determine:

a) o tamanho da imagem do objeto;

b) a posição da imagem;

c) as características da imagem.

Resolução:

a) Para descobrirmos o tamanho da imagem, podemos utilizar a fórmula do aumento linear transversal. Observe:

O cálculo feito indica que a imagem terá um tamanho de 5 cm. Além disso, o sinal negativo obtido no resultado indica que a imagem está virada de cabeça para baixo.

b) A posição da imagem pode ser obtida tanto por meio da equação dos pontos conjugados quanto por meio de uma das fórmulas do aumento linear transversal, assim como fizemos na questão 1.

O resultado obtido mostra que a imagem encontra-se a 7,5 cm do centro óptico da lente. Uma vez que o sinal encontrado foi positivo, sabemos que a imagem produzida é real.

c) A imagem obtida é real, uma vez que o tamanho dessa imagem tem sinal negativo, e também é reduzida, isto é, menor que o objeto.

Questão 2) Determine a vergência de uma lente esférica côncava cuja distância focal é igual a 10 cm.

Resolução:

Vamos calcular qual é a vergência da lente. Para tanto, é preciso lembrar que, em se tratando de uma lente côncava, seu foco é negativo. Além disso, esse foco deve estar em metros para que se calcule a vergência corretamente, portanto usamos f = -0,1 m e fazemos o cálculo a seguir:

O resultado obtido mostra que essa lente tem uma vergência igual a -10 di.