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Área do cone

A área do cone é igual à soma de sua área lateral com a área de sua base. Para calculá-la, utilizamos a fórmula A = π · r (r + g), em que r é o raio e g é a geratriz do cone.
A área total do cone é formada pela área da base e a sua área lateral.
A área total do cone é formada pela área da base e a sua área lateral.

A área do cone é formada pela área da base e a sua área lateral, configurando a medida da superfície de um cone. Se fizermos a planificação do cone, é possível perceber que ele é composto por uma base que possui formato de um círculo e uma área lateral que possui formato de um arco. Para calcular a área do cone, somamos a área da sua base com a sua área lateral.

Portanto, para realizar o cálculo da área total do cone, é necessário conhecer o raio da base, representado por r, e a geratriz do cone, representada por g. Com o valor dessas duas medidas, utilizamos a fórmula A = π · r (r + g).

Veja também: Tronco de cone — a parte inferior de um cone após ser seccionado de forma paralela à sua base

Resumo sobre área do cone

  • A área do cone é a medida da sua superfície.

  • O cone é formado por vértice, geratriz, altura e raio da base.

  • A geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo.

  • Para calcular a área do cone, somamos a sua área lateral, formada por um arco, com a área da base, que é um círculo.

  • A fórmula para calcular a área total do cone é A = π · r (r + g).

Videoaula sobre área do cone

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Elementos do cone

O cone é um sólido geométrico considerado um corpo redondo. Os sólidos geométricos são estudados na geometria espacial, e a área é uma medida importante para esse sólido. Para compreender o cálculo da área de um cone, é importante, inicialmente, revermos os principais elementos de um cone. São eles, o vértice, a geratriz, a altura e o raio da base.

Cone azul-claro com vértice v, altura h, geratriz g e raio r
Elementos do cone
  • Vértice: é o ponto V, que fica na parte superior do sólido.

  • Raio: é o raio do círculo que forma a base do cone.

  • Geratriz: é o segmento de reta que liga o vértice V a um ponto pertencente à circunferência da base do cone.

  • Altura: é o segmento que liga o vértice e vai até a base do cone de forma perpendicular.

Existe uma relação importante no cone, tendo em vista que, como é possível notar na imagem anterior, a geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo. Assim, os valores dessas três medidas se relacionam de forma pitagórica, pois, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:

g² = r² + h²

Planificação do cone

Quando planificamos o cone, nota-se que é possível dividi-lo em duas regiões, a base e a sua área lateral. Vejamos, a seguir, como é o cone planificado.

Planificação de um cone
Planificação de um cone

A partir da planificação, podemos desenvolver uma fórmula para o cálculo da área do cone, já que ele possui a área da base no formato de um círculo e uma área lateral.

Saiba também: Princípio de Cavalieri — postulado utilizado para determinar fórmulas de volumes na geometria espacial

Cálculo da área do cone

A base do cone é um círculo, logo, a área deste é calculada por:

Ab = π · r²

Já a área lateral do cone é calculada por:

Al = π · r · g

Como a área do cone é a soma da área da base com a sua área lateral, temos:

A = π · r² + π · r · g

Note que π · r é um fator comum aos dois temos. Portanto, colocando esse produto em evidência, podemos encontrar a fórmula para o cálculo da área total do cone:

A = π · r (r + g)

r: raio

g: geratriz

  • Exemplos de aplicação da fórmula de cálculo da área do cone:

Exemplo 1:

Encontre a área total de um cone que possui raio da base igual a 4 cm e geratriz igual a 5 cm.

(Use π = 3,14)

Substituindo os valores dados na fórmula da área total do cone, calcula-se:

A = π · r (r + g)

A = 3,14 · 4 (4 + 5)

A = 3,14 · 4 · 9

A = 3,14 · 36

A = 113,04 cm²

Exemplo 2:

Encontre a área total do cone que possui raio da base igual a 16 cm e 12 cm de altura.

(Use π = 3,14)

Para calcular a área total desse cone, primeiramente é necessário encontrar a medida da sua geratriz.

g² = h² + r²

g² = 16² + 12²

g² = 256 + 144

g² = 400

g = √400

g = 20 cm

Agora que conhecemos a geratriz, calcularemos a área total:

A = π · 16 (16 + 20)

A = 3,14 · 16 (36)

A = 3,14 · 16 · 36

A = 1808,64 cm²

Acesse também: Cilindros — sólidos geométricos classificados como corpos redondos

Exercícios resolvidos sobre área do cone

Questão 1

Um enfeite de festa é confeccionado no formato de um cone reto, que possui 6 cm de raio e 8 cm de altura. Sabendo que o custo do cm² é de R$ 0,15, o valor para produzir 30 lembrancinhas é de:

(Use π = 3)

A) R$ 28,50

B) R$ 32,90

C) R$ 43,20

D) R$ 45,40

E) R$ 50,00

Resolução:

Alternativa C

Para encontrar a geratriz, obtemos:

g² = 6² + 8²

g² = 36 + 64

g² = 100

g = √100

g = 10

A = π · r (r + g)

A = 3· 6 (6 + 10)

A = 3 · 6 · 16

A = 288 cm²

Como o custo é de R$ 0,15 por cm²:

288 · 0,15 = 43,2

Conclui-se que o valor do enfeite é de R$ 43,20.

Questão 2

Um reservatório será construído com o formato de um cone reto. A área total desse reservatório, incluindo a sua base, será de 18 m². Sabendo que o raio da base será de 1,5 metro e utilizando 3 como aproximação de π, o valor da geratriz desse reservatório será de

A) 2,0 metros.

B) 2,5 metros.

C) 3,0 metros.

D) 3,5 metros.

E) 4,0 metros.

Resolução:

Alternativa B

Sabemos que a área A = 18 e que r = 1,5. Utilizando π = 3 para substituir na fórmula, temos o seguinte:

A = π · r (r + g)

18 = 3 · 1,5 (1,5 + g)

18 = 4,5 (1,5 + g)

18 : 4,5 = 1,5 + g

4 = 1,5 + g

4 – 1,5 = g

g = 2,5 m

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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Professora ao lado do texto"Verbos irregulares".
Português
Verbos irregulares
Sabendo que o estudo de verbos não é uma tarefa fácil, nesta videoaula esclareceremos as formas de flexão dos verbos irregulares, ou seja, aqueles que, ao serem conjugados, apresentam alteração em seu radical ou em sua terminação. Não deixe de assistir!