Área do quadrado

A área do quadrado é a medida da superfície dessa figura geométrica. Para calculá-la, multiplicamos a base pela altura. Como todos os lados do quadrado são congruentes, a área é a medida do lado elevada ao quadrado.

Leia também: Área de figuras planas — como calcular?

Resumo sobre a área do quadrado

• O quadrado é um polígono com quatro lados congruentes e quatro ângulos retos.

• A área de um polígono é a medida da região interna.

• A área de um quadrado de lado é dada por:

\(A=l^2\)

• A diagonal de um quadrado de lado é obtida pela expressão:

\(d=l\sqrt2\)

• O perímetro de um quadrado é a medida do contorno da figura, enquanto a área é a medida da superfície. A fórmula do perímetro de um quadrado de lado é:

\(P\ =\ 4l\)

Qual é a fórmula da área do quadrado?

A área A de um quadrado de lado é obtida pela fórmula:

\(A=l^2\)

Como calcular a área do quadrado?

Para calcular a área de um quadrado, basta conhecer a medida de seu lado e aplicar a fórmula. Se a unidade de medida do lado estiver determinada, é importante expressar a unidade de medida da área.

• Exemplo 1: Qual a área de um quadrado com 3 cm de lado?

Aplicando a fórmula da área do quadrado, temos que:

\(A=3^2=9\ cm^2\)

Note que, com base na área do quadrado, também podemos determinar a medida de seu lado. Observe o exemplo a seguir.

• Exemplo 2: Qual a medida do lado de um quadrado cuja área é 25 cm²?

Perceba que, neste caso, temos o valor da área A e desconhecemos o valor de . Substituindo de maneira apropriada na fórmula da área do quadrado, concluímos que:

\(25=l^2\)

\(l=\sqrt{25}\)

\(l\ =\ 5 cm\)

Veja também: Como medir a diagonal de um quadrado?

Qual a diagonal de um quadrado?

A diagonal de um quadrado é o segmento com extremidades em vértices opostos. Em um quadrado ABCD, as diagonais são os segmentos AC e BD. É possível determinar a medida da diagonal de um quadrado se conhecemos o lado.

Considere um quadrado ABCD de lado \(l\ \). Como o triângulo BCD é retângulo (pois \(\hat{C}=90°\) ), temos, pelo teorema de Pitágoras:

\(\left(BD\right)^2=\left(BC\right)^2+\left(CD\right)^2\)

Lembre-se de que . Assim:

\(\left(BD\right)^2=l^2+l^2\)

\(\left(BD\right)^2=2l^2\)

\(BD=l\sqrt2\)

Dessa forma, a medida da diagonal de um quadrado de lado é:

\(d=l\sqrt2\)

Área do quadrado X perímetro do quadrado

Enquanto a área de um quadrado é a medida de sua superfície, o perímetro de um quadrado é a medida de seu contorno, ou seja, a soma de seus lados.

Considere um quadrado de lado . Assim, seu perímetro P é:

\(P\ =\ l\ +\ l\ +l+l\)

\(P\ =\ 4l\)

• Exemplo: calcule o perímetro e a área de um quadrado de lado 7 cm.

Aplicando as respectivas fórmulas, temos que:

\(P\ =4\cdot7\ =\ 28 cm\)

\(A=7^2=49 cm²\)

Saiba mais: Qual a diferença entre área e perímetro?

Exercícios resolvidos sobre a área do quadrado

Questão 1

Qual a medida da diagonal de um quadrado cuja área mede 9 m²?

a) \(3\)

b) \( \sqrt2\)

c) \( 3\sqrt2\)

d) \( \sqrt3\)

e) \( 3\sqrt3\)

Resolução

Seja \(l\) a medida do lado do quadrado. Assim:

\(9=l^2\)

\(l=\sqrt9=3\)

Substituindo na fórmula da diagonal de um quadrado:

\(d=3\sqrt2\)

Alternativa C

Questão 2

(Cefet) Um quadrado de lado x e um triângulo equilátero de lado y possuem áreas de mesma medida. Assim, pode-se afirmar que a razão x/y é igual a:

a) \( \frac{\sqrt6}{4}\)

b) \( \frac{3}{4}\)

c) \( \frac{\sqrt3}{4}\)

d) \( \frac{\sqrt[4]{3}}{2}\)

Resolução

A área \(A_q\) de um quadrado de lado x é \(A_q=x^2\). A área \(A_t\) de um triângulo de lado y é \(A_t=\frac{y^2\sqrt3}{4}\) . Assim, de acordo com o enunciado:

\(A_q=A_t\)

\(x^2=\frac{y^2\sqrt3}{4}\)

\(\frac{x^2}{y^2}=\frac{\sqrt3}{4}\)

\(\left(\frac{x}{y}\right)^2=\frac{\sqrt3}{4}\)

\(\frac{x}{y}=\sqrt{\frac{\sqrt3}{4}}\)

\(\frac{x}{y}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}\)

Alternativa D

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.