Área do quadrado

A área do quadrado é a medida da superfície dessa figura geométrica. Para calculá-la, multiplicamos a base pela altura. Como todos os lados do quadrado são congruentes, a área é a medida do lado elevada ao quadrado.

Leia também: Área de figuras planas — como calcular?

Resumo sobre a área do quadrado

• O quadrado é um polígono com quatro lados congruentes e quatro ângulos retos.

• A área de um polígono é a medida da região interna.

• A área de um quadrado de lado é dada por:

$A=l^2$

• A diagonal de um quadrado de lado é obtida pela expressão:

$d=l\sqrt2$

• O perímetro de um quadrado é a medida do contorno da figura, enquanto a área é a medida da superfície. A fórmula do perímetro de um quadrado de lado é:

$P\ =\ 4l$

Qual é a fórmula da área do quadrado?

A área A de um quadrado de lado é obtida pela fórmula:

$A=l^2$

Como calcular a área do quadrado?

Para calcular a área de um quadrado, basta conhecer a medida de seu lado e aplicar a fórmula. Se a unidade de medida do lado estiver determinada, é importante expressar a unidade de medida da área.

• Exemplo 1: Qual a área de um quadrado com 3 cm de lado?

Aplicando a fórmula da área do quadrado, temos que:

$A=3^2=9\ cm^2$

Note que, com base na área do quadrado, também podemos determinar a medida de seu lado. Observe o exemplo a seguir.

• Exemplo 2: Qual a medida do lado de um quadrado cuja área é 25 cm²?

Perceba que, neste caso, temos o valor da área A e desconhecemos o valor de . Substituindo de maneira apropriada na fórmula da área do quadrado, concluímos que:

$25=l^2$

$l=\sqrt{25}$

$l\ =\ 5 cm$

Veja também: Como medir a diagonal de um quadrado?

Qual a diagonal de um quadrado?

A diagonal de um quadrado é o segmento com extremidades em vértices opostos. Em um quadrado ABCD, as diagonais são os segmentos AC e BD. É possível determinar a medida da diagonal de um quadrado se conhecemos o lado.

Considere um quadrado ABCD de lado $l\ $. Como o triângulo BCD é retângulo (pois $\hat{C}=90°$ ), temos, pelo teorema de Pitágoras:

$\left(BD\right)^2=\left(BC\right)^2+\left(CD\right)^2$

Lembre-se de que . Assim:

$\left(BD\right)^2=l^2+l^2$

$\left(BD\right)^2=2l^2$

$BD=l\sqrt2$

Dessa forma, a medida da diagonal de um quadrado de lado é:

$d=l\sqrt2$

Área do quadrado X perímetro do quadrado

Enquanto a área de um quadrado é a medida de sua superfície, o perímetro de um quadrado é a medida de seu contorno, ou seja, a soma de seus lados.

Considere um quadrado de lado . Assim, seu perímetro P é:

$P\ =\ l\ +\ l\ +l+l$

$P\ =\ 4l$

• Exemplo: calcule o perímetro e a área de um quadrado de lado 7 cm.

Aplicando as respectivas fórmulas, temos que:

$P\ =4\cdot7\ =\ 28 cm$

$A=7^2=49 cm²$

Saiba mais: Qual a diferença entre área e perímetro?

Exercícios resolvidos sobre a área do quadrado

Questão 1

Qual a medida da diagonal de um quadrado cuja área mede 9 m²?

a) 3

b) $\sqrt2$

c) $3\sqrt2$

d) $\sqrt3$

e) $3\sqrt3$

Resolução

Seja $l$ a medida do lado do quadrado. Assim:

$9=l^2$

$l=\sqrt9=3$

Substituindo na fórmula da diagonal de um quadrado:

$d=3\sqrt2$

Alternativa C

Questão 2

(Cefet) Um quadrado de lado x e um triângulo equilátero de lado y possuem áreas de mesma medida. Assim, pode-se afirmar que a razão x/y é igual a:

a) $\frac{\sqrt6}{4}$

b) $\frac{3}{4}$

c) $\frac{\sqrt3}{4}$

d) $\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$

Resolução

A área $A_q$ de um quadrado de lado x é $A_q=x^2$. A área $A_t$ de um triângulo de lado y é $A_t=\frac{y^2\sqrt3}{4}$ . Assim, de acordo com o enunciado:

$A_q=A_t$

$x^2=\frac{y^2\sqrt3}{4}$

$\frac{x^2}{y^2}=\frac{\sqrt3}{4}$

$\left(\frac{x}{y}\right)^2=\frac{\sqrt3}{4}$

$\frac{x}{y}=\sqrt{\frac{\sqrt3}{4}}$

$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}$

Alternativa D

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.