Pontos Notáveis do Triângulo

Os pontos notáveis de um triângulo são elementos importantes na estrutura de formação e de caracterização dessa forma geométrica. Imagine você que um casal teve filhos trigêmeos idênticos e o que os diferencia é apenas a marca de nascença. Um deles tem sua marca na barriga, o outro, na perna; e o terceiro, no braço. Apesar de parecer um detalhe simples e pouco importante, a localização da marca de nascença é a única forma de diferenciar os irmãos. Você diria que ela é importante? Ela é de suma importância! As marcas de nascença podem representar uma forma particular de ponto notável nos trigêmeos.

Além dos elementos mais comuns trabalhados em um triângulo, temos outros, como a mediana, baricentro, bissetriz, incentro, ortocentro, mediatriz e o circuncentro. Uma ideia inicial que precisamos relembrar é o conceito de ponto médio. Dado um segmento de reta, o ponto médio é aquele que divide o segmento exatamente ao meio, originando dois segmentos de mesmo comprimento. No segmento de reta abaixo, o ponto M é o ponto médio da reta AB, e o segmento AM tem o mesmo comprimento que o segmento MB.

A__________M__________B

Em um triângulo, encontre o ponto médio de um de seus lados. Por exemplo, na figura abaixo, marcamos o ponto M₁, que é o ponto médio do lado AB. Feito isso, nós traçamos uma reta desse ponto M₁ até o vértice oposto, no caso, o C. Essa reta CM₁, destacada em vermelho, é dita mediana relativa ao vértice C ou ao lado AB. Seguindo o mesmo princípio, encontramos os pontos médios dos outros lados do triângulo e traçamos a medida relativa a cada lado. As três medianas encontram-se em um ponto, que é chamado de baricentro. Na figura abaixo, ele foi identificado pelo ponto D.

Ao traçarmos as três medianas de um triângulo, encontramos o baricentro, o ponto formado pelo encontro das medianas desse triângulo

Vamos agora traçar uma reta que divida ao meio um dos ângulos do triângulo, por exemplo, o vértice C. Essa reta deve interceptar o lado em frente ao ângulo, nesse caso, o lado AB, como podemos ver no primeiro triângulo da figura abaixo. A reta vermelha representa a bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice C. Novamente, realizando esse procedimento em relação aos outros lados, vamos encontrar três bissetrizes que se interceptam em um ponto chamado de incentro, que na figura abaixo está representado pelo ponto I.

Ao traçarmos as bissetrizes de um triângulo, encontramos o incentro, o ponto formado pelo encontro das bissetrizes desse triângulo

Podemos ainda marcar a altura referente a um dos lados do triângulo. Por exemplo, no primeiro triângulo da figura abaixo, saindo do vértice C, traçamos uma reta que intercepta o lado oposto, formando um ângulo reto (90°). Essa reta representa a altura relativa ao lado AB ou ao vértice C. Encontrando as alturas relativas a todos os lados, teremos um ponto formado pelo encontro dessas alturas, que é chamado de ortocentro. Em alguns casos, será necessário prolongar os segmentos de reta das alturas de tal forma que o ortocentro surgirá em um ponto externo ao triângulo.

Ao traçarmos as alturas referentes a cada lado de um triângulo, encontramos o ortocentro, a intercessão desse triângulo

Por fim, podemos marcar as mediatrizes de um triângulo da seguinte forma: selecionamos um dos lados, por exemplo, o lado AB, encontramos seu ponto médio, ao qual identificamos pelo ponto M₁, e traçamos uma reta perpendicular ao lado AB, esta é a primeira mediatriz. Ao encontrarmos as três mediatrizes, veremos que elas interceptam-se em um ponto, no circuncentro, que, na figura, é representado pelo ponto E no terceiro triângulo.

Ao traçarmos as três mediatrizes de um triângulo, encontramos o circuncentro, o ponto formado pelo encontro das mediatrizes desse triângulo

Mas qual seria a importância de estudar esses pontos notáveis? Imagine que você agora é um arquiteto e construirá um monumento em formato piramidal. Se você não tiver pleno conhecimento dos pontos notáveis de um triângulo, poderá calcular mal o ortocentro dessa estrutura, por exemplo, o que poderá gerar um erro na construção, que, por sua vez, poderá resultar na queda desse monumento, uma vez que suas alturas não foram bem definidas. Vejamos um exemplo ainda mais simples: você deseja construir uma pequena pirâmide utilizando apenas laranjas, de modo que o ponto mais alto da pirâmide seja o baricentro. Se este for mal calculado, provavelmente as laranjas rolarão para todos os lados. Portanto, até mesmo em exemplos cotidianos, os pontos notáveis do triângulo podem ser observados.