Whatsapp icon Whatsapp

Pontos notáveis de um triângulo

Os pontos notáveis de um triângulo são o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro.
Ilustração mostrando os quatro pontos notáveis de um triângulo ABC: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro.
Pontos notáveis de um triângulo ABC. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Os pontos notáveis de um triângulo são os pontos de encontro de retas, semirretas ou segmentos específicos desenhados em um triângulo. Esses pontos estão relacionados aos vértices, lados e ângulos do triângulo. Existem quatro pontos notáveis de um triângulo:

  • baricentro;
  • incentro;
  • circuncentro;
  • ortocentro.

Leia também: O que é e quando ocorre congruência entre triângulos?

Resumo sobre os pontos notáveis de um triângulo

  • Os pontos notáveis de um triângulo são interseções de retas, semirretas ou segmentos especiais traçados no triângulo.
  • Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são os pontos notáveis de um triângulo.
  • O baricentro é o ponto de encontro das medianas, segmentos que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto.
  • O incentro é o ponto de encontro das bissetrizes, semirretas que dividem cada ângulo em dois ângulos congruentes. Esse ponto também é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
  • O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes, retas perpendiculares a cada lado do triângulo e que cruzam o ponto médio.
  • O ortocentro é o ponto de encontro das alturas, segmentos perpendiculares a cada lado com uma extremidade no vértice oposto.

O que são pontos notáveis de um triângulo?

Os pontos notáveis de um triângulo são os pontos de encontro de retas, de semirretas ou de segmentos específicos desenhados em um triângulo.

Quais são os pontos notáveis de um triângulo?

Pontos notáveis de um triângulo ABC: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro.
Os pontos notáveis de um triângulo. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Existem quatro pontos notáveis de um triângulo: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro. Esses pontos são obtidos, respectivamente, a partir das medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas de um triângulo.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Como diferenciar os pontos notáveis de um triângulo?

Para diferenciar os pontos notáveis de um triângulo, devemos saber os conceitos de mediana, bissetriz, mediatriz e altura. Considerando cada um desses objetos, podemos caracterizar os pontos notáveis.

→ Baricentro

O baricentro é a interseção das medianas de um triângulo.

Ilustração mostrando o baricentro de um triângulo ABC, um dos pontos notáveis de um triângulo.
K é o baricentro do triângulo ABC. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Uma propriedade importante do baricentro é que ele divide cada mediana na proporção 2:1. No triângulo ABC, por exemplo, o segmento AK tem o dobro da medida do segmento HK.

Saiba mais detalhes sobre o baricentro de um triângulo clicando aqui.

→ Incentro

O incentro é a interseção das bissetrizes de um triângulo.

Ilustração mostrando o incentro de um triângulo ABC, um dos pontos notáveis de um triângulo.
P é o incentro do triângulo ABC. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Uma propriedade importante do incentro é que ele é o centro da circunferência inscrita no triângulo, ou seja, a circunferência que tangencia cada um dos lados do triângulo.

Ilustração do incentro enquanto centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, um dos pontos notáveis de um triângulo.
(Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

→ Circuncentro

O circuncentro é a interseção das mediatrizes de um triângulo.

Ilustração mostrando o circuncentro de um triângulo ABC, um dos pontos notáveis de um triângulo.
L é o circuncentro do triângulo ABC. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Uma propriedade importante do circuncentro é que ele é o centro da circunferência circunscrita no triângulo, ou seja, a circunferência que contém os vértices do triângulo.

Ilustração do circuncentro, com a circunferência circunscrita, de um triângulo ABC, um dos pontos notáveis de um triângulo.
(Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

→ Ortocentro

O ortocentro é a interseção das alturas de um triângulo.

Ilustração mostrando o ortocentro de um triângulo ABC, um dos pontos notáveis de um triângulo.
D é o ortocentro do triângulo ABC. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Pontos notáveis de um triângulo isósceles

Em um triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis estão sobre o mesmo segmento. Considere um triângulo isósceles com dois lados de medida x e um lado de medida y. Nesse triângulo, a mediana, a bissetriz, a mediatriz e a altura relativas ao lado de medida y são coincidentes. Assim, os quatro pontos notáveis do triângulo isósceles ABC estão sobre o segmento AH.

Pontos notáveis de um triângulo isósceles ABC.
AH é a altura, a mediana, a bissetriz e a mediatriz do triângulo ABC em relação ao lado BC. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Pontos notáveis de um triângulo equilátero

Em um triângulo equilátero, cujos três lados têm a mesma medida, os quatro pontos notáveis são coincidentes. No triângulo equilátero ABC abaixo, o ponto D é o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro:

Pontos notáveis do triângulo equilátero ABC.
O ponto D é o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo ABC. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Altura, mediana, bissetriz e mediatriz de um triângulo

→ Mediana de um triângulo

A mediana de um triângulo é um segmento com extremidades no vértice e no ponto médio do lado oposto.

Mediana do triângulo ABC em relação ao vértice C, segmento ligado ao baricentro, um dos pontos notáveis do triângulo.
Mediana do triângulo ABC em relação ao vértice C. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Note que um triângulo tem três medianas, pois esse polígono tem três vértices e três lados.

→ Bissetriz de um triângulo

A bissetriz de um triângulo é uma semirreta com extremidade no vértice e que divide o ângulo do triângulo em ângulos congruentes.

Bissetriz do triângulo ABC em relação ao vértice C, segmento ligado ao incentro, um dos pontos notáveis do triângulo.
Bissetriz do triângulo ABC em relação ao ângulo Â. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Note que um triângulo tem três bissetrizes, pois esse polígono tem três ângulos.

Saiba mais detalhes sobre a bissetriz clicando aqui.

→ Mediatriz de um triângulo

A mediatriz de um triângulo é uma reta perpendicular a um lado que cruza seu ponto médio.

Mediatriz do triângulo ABC em relação ao vértice C, segmento ligado ao circuncentro, um dos pontos notáveis do triângulo.
Mediatriz do triângulo ABC em relação ao lado BC. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Note que um triângulo tem três mediatrizes, pois esse polígono tem três lados.

Saiba mais detalhes sobre a mediatriz clicando aqui.

→ Altura de um triângulo

A altura de um triângulo é um segmento perpendicular a um lado com extremidade no vértice oposto.

Altura do triângulo ABC em relação ao vértice C, segmento ligado ao ortocentro, um dos pontos notáveis do triângulo.
Altura do triângulo ABC em relação ao vértice A. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Note que um triângulo tem três alturas, pois esse polígono tem três vértices e três lados.

Importante: Um segmento que conecta um vértice de um triângulo ao lado oposto é chamado de ceviana. As medianas e alturas de um triângulo são casos particulares de ceviana.

Exercícios resolvidos sobre pontos notáveis de um triângulo

Questão 1

Os pontos de encontro das mediatrizes e das medianas de um triângulo são chamados, respectivamente, de

A) incentro e baricentro.

B) baricentro e ortocentro.

C) ortocentro e circuncentro.

D) circuncentro e baricentro.

Resolução:

Alternativa D

O circuncentro é a interseção das mediatrizes de um triângulo e o baricentro é a interseção das medianas de um triângulo.

Questão 2

Em uma praça com o formato de um triângulo escaleno, será posicionado um bebedouro no ponto equidistante dos lados. O bebedouro deve ser posicionado em qual ponto do triângulo que delimita a região da praça?

A) Incentro

B) Baricentro

C) Ortocentro

D) Circuncentro

Resolução:

Alternativa A

Como incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, esse ponto é equidistante dos lados do triângulo.

Fontes

MACHADO, P.F. Fundamentos de geometria plana. Belo horizonte: CAED-UFMG, 2012.

REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.

Publicado por Maria Luiza Alves Rizzo
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Baricentro de um triângulo
Entenda o que é o baricentro de um triângulo e aprenda como encontrá-lo quando representado no plano cartesiano. Resolva as questões referentes ao tema.
Bissetriz
Clique aqui, saiba o que é bissetriz e conheça o teorema da bissetriz interna e o teorema da bissetriz externa para encontrar lados desconhecidos no triângulo.
Classificação de triângulos
Classificação de triângulos: critérios e nomes
Congruência de triângulos
Entenda o que são os triângulos congruentes. Identifique cada um dos casos de congruência do triângulo. Use a congruência para encontrar valores desconhecidos.
Mediatriz
Clique aqui e saiba o que é mediatriz. Entenda como ela é construída e descubra a diferença entre mediatriz, mediana, bissetriz e altura.
Propriedades do triângulo isósceles
Veja propriedades que podem ser usadas para diferenciar triângulos isósceles de triângulos escalenos.
Semelhança de triângulos
Entenda o que é semelhança entre triângulos e o teorema fundamental da semelhança de triângulos. Veja também os casos de semelhança de triângulos e como aplicá-los.
Teorema da bissetriz interna
Conheça o teorema da bissetriz interna e como aplicá-lo em um triângulo para encontrar valores desconhecidos. Confira ainda exercícios sobre o assunto.
Triângulo equilátero
Conheça o triângulo equilátero. Aprenda quais são suas propriedades. Veja a fórmula para calcular a área e a altura dessa figura.
Triângulo escaleno
Clique aqui e conheça as características do triângulo escaleno. Aprenda a identificar e a calcular seu perímetro e área.
Triângulos
Clique para aprender o que são os triângulos e conheça quais os elementos dessa figura e as suas principais propriedades.
video icon
Texto"Matemática do Zero | Número de diagonais de um polígono convexo" em fundo azul.
Matemática do Zero
Matemática do Zero | Número de diagonais de um polígono convexo
Nessa aula demonstrarei a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo e resolveremos questões modelo.