Segunda relação fundamental da Trigonometria

Existem duas relações fundamentais da Trigonometria, e, por meio delas, é possível associar as razões trigonométricas. Além disso, é também por meio delas que podem ser criadas as relações decorrentes, também chamadas identidades trigonométricas.

A segunda relação fundamental da Trigonometria é, considerando um arco x qualquer, exceto π/2 e 3π/2:

tgx = senx
                                                                   cosx

Assim, podemos afirmar que a tangente de um arco é igual à razão entre o seno e o cosseno desse mesmo arco.

A demonstração desse teorema depende de conceitos básicos do ciclo trigonométrico, que serão relembrados a seguir.

Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 un, com centro localizado no ponto C = (0, 0) do plano cartesiano. Em outras palavras, o centro do ciclo trigonométrico é a origem do plano cartesiano.

Essa circunferência é usada para relacionar números reais a ângulos e aos arcos relativos a esses ângulos. Para tanto, qualquer ponto marcado sobre o ciclo possui coordenadas x e y. Esse mesmo ponto forma um ângulo α com o eixo x, seguindo o sentido anti-horário. Como o eixo x é o eixo dos cossenos, a coordenada x representa o valor numérico do cosseno do ângulo α. Como o eixo y é o eixo dos senos, a coordenada y representa o valor numérico do seno de α.

Da mesma forma, se marcarmos um ponto qualquer sobre o eixo x, por exemplo, esse ponto estará ligado a um número real, que, por sua vez, é coordenada de um ponto no ciclo trigonométrico. Por meio desse ponto, é possível descobrir o ângulo ligado ao valor escolhido sobre o eixo x.

O eixo das tangentes é uma reta que passa fora do ciclo, tangente a ele pelo ponto (1, 0), como mostra a figura a seguir:

Marcando um ponto P sobre o ciclo, devemos construir o segmento de reta cujas extremidades são: o centro C do ciclo e um ponto A da reta tangente, de modo que esse segmento de reta contenha o ponto P sobre o ciclo. A distância entre o ponto A e o ponto (1, 0) é o valor da tangente no ciclo trigonométrico. Note que esse valor está ligado ao ângulo α: a abertura entre o segmento de reta construído e o eixo x.

Demonstração da relação fundamental

Para demostrar a segunda relação fundamental, observe inicialmente a construção abaixo:

Perceba que os triângulos CPD e CAB são semelhantes pelo caso AA (ângulo, ângulo). Isso significa que existe proporcionalidade entre seus lados. Uma das proporcionalidades que podem ser escritas é:

CD = CB
PD    AB

Nessa proporção, AB é a tangente de α, CD é o cosseno de α e PD é o seno de α. Além disso, CB = 1, pois é raio do ciclo. Substituindo esses valores na proporção acima, teremos:

cosα =    1   
senα     tgα  

Assim, usando as propriedades operatórias das equações, também é possível representá-la da seguinte forma:

senα = tgα
   cosα