Primeira relação fundamental da Trigonometria

Existem duas relações fundamentais da Trigonometria, por meio das quais é possível encontrar relações entre razões trigonométricas. Elas são chamadas fundamentais porque estão envolvidas na grande maioria dos cálculos básicos da Trigonometria em um nível intermediário. A primeira dessas razões, que é muito parecida com o teorema de Pitágoras, é a seguinte:

sen²x + cos²x = 1

Podemos dizer, portanto, que a soma do quadrado do seno de um arco com o quadrado do cosseno desse mesmo arco sempre será igual a 1.

A demonstração desse teorema, mais conhecida como primeira relação fundamental da Trigonometria, depende de conhecimentos básicos sobre o ciclo trigonométrico, que serão relembrados a seguir.

Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 un, com centro localizado no ponto C = (0, 0) no plano cartesiano. Os eixos x e y desse plano são chamados, respectivamente, de eixo dos cossenos e eixo dos senos.

A razão para isso é simples: qualquer número real marcado no eixo x, no intervalo abrangido pelo ciclo – ou seja, no intervalo entre [– 1, 1] – representa o cosseno de um ângulo qualquer. O mesmo vale para qualquer número marcado no eixo dos senos, nesse mesmo intervalo, entretanto, esse número representará o seno de um ângulo qualquer.

Para verificar isso, basta desenhar um triângulo retângulo qualquer no ciclo, de modo que o ângulo avaliado tenha seu vértice no centro do ciclo e um de seus lados esteja sobre o eixo x, à direita do ponto C, como mostra a imagem a seguir.

Observe que a hipotenusa desse triângulo sempre será um raio do ciclo. Esse raio sempre mede 1, ou seja, o resultado de senα = cateto oposto/1 = cateto oposto.

Então, marcando um ponto qualquer sobre um dos eixos (x ou y) do plano cartesiano, a distância entre esse ponto e o centro C sempre será igual ao comprimento do cateto oposto ou do cateto adjacente de um ângulo α e, por consequência, representa o valor do seno ou do cosseno do ângulo α.

Demonstração da primeira relação fundamental

Grande parte da demonstração da primeira relação fundamental é dada com a explicação sobre o ciclo trigonométrico acima. Na imagem a seguir, observe que o cateto oposto ao ângulo α é o segmento AB e que seu cateto adjacente é o segmento CB. Além disso, note também que a hipotenusa do triângulo ABC é o segmento CA, que mede 1 un.

Assim, utilizando o teorema de Pitágoras, teremos:

AB² + CB² = AC²

senα² + cosα² = 1²

Sabendo que senα² = sen²α, podemos escrever:

senα² + cosα² = 1²

sen²α + cos²α = 1

Essa é justamente a primeira relação fundamental da Trigonometria.