Exemplos de cálculo da área do prisma

A área do prisma pode ser calculada pela soma de sua área lateral com as áreas das bases. O processo de cálculo dessas áreas acaba sendo facilitado porque as duas bases de um prisma são iguais, bastando, portanto, calcular a área de uma base e multiplicar o resultado por 2. A área lateral do prisma é dada pela soma das áreas das faces laterais, que também costumam ser iguais ou seguir algum padrão. Claro que isso não elimina o fato de, em alguns casos, existirem prismas que exigirão o cálculo separado para cada uma de suas faces, mas esses casos são mais raros.

Neste artigo discutiremos alguns exemplos de cálculo de área de prismas. O texto completo a respeito desse cálculo pode ser encontrado aqui.

Exemplo 01

(UNESP/2016) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de

a) 42%.

b) 36%.

c) 32%.

d) 26%.

e) 28%.

Solução:

Primeiramente calcularemos a área do prisma reto-retângulo. Observe que ele é formado por duas faces laterais retangulares de base 3 e altura 1, por duas faces laterais de base 4 e altura 1 e por duas bases retangulares de comprimento 4 e largura 3.

A área lateral é igual à soma das áreas das faces laterais, e a área total é a soma entre esse resultado e a área das duas bases. Observe:

A_l = 4·1 + 4·1 + 3·1 + 3·1 = 4 + 4 + 3 + 3 = 14 cm²

A_b = 4·3 + 4·3 = 12 + 12 = 24 cm²

A área total do prisma reto-retângulo é:

A_r = 14 + 24 = 38 cm²

Agora calcularemos a área de um dos prismas triangulares. Como eles foram criados pela secção sobre as diagonais das bases, eles possuem medidas congruentes e, por isso, basta encontrar a área de um deles e multiplicar o resultado por 2. Entretanto, precisamos descobrir o comprimento dessa diagonal. Para isso, usaremos o teorema de Pitágoras. Só é possível usá-lo porque temos a garantia de que os ângulos entre duas arestas (exceto as introduzidas pelo corte) são retos, já que se trata de um prisma reto-retângulo.

Tendo em vista que os outros dois lados do retângulo, base do prisma, medem 3 e 4, a sua diagonal mede x:

x² = 3² + 4²

x² = 9 + 16

x² = 25

x = 5

No prisma triangular, temos uma face com base 4 e altura 1, uma com base 3 e altura 1 e uma com lado 5 e altura 1. Além disso, duas faces são bases, com “altura” 3 e “base” 4. Logo, a área lateral e a área das bases serão:

A_l = 3·1 + 4·1 + 5·1 = 3 + 4 + 5 = 12

A_b = 3·4 + 3·4 = 6 + 6 = 12
         2       2                    

Dessa maneira, a área de um prisma triangular é:

A_t = 12 + 12 = 24 cm²

Como dito anteriormente, a área dos dois prismas triangulares é o produto da área de um deles por 2.

A_tt = 2·24 = 48 cm²

Para finalizar o exercício, basta calcular o percentual representado pela diferença entre as áreas dos retângulos. A diferença é 48 – 38 = 10. A razão entre a diferença e a área é:

10/38 = 0,263158

O percentual pode ser calculado multiplicando-se essa taxa por 100. Arredondando o resultado, teremos:

0,263158·100 = 26%

Gabarito: letra D.

Exemplo 02

(UFSCar SP/2016) Uma caixinha de papelão tem a forma de um prisma reto de base quadrada, com 6 cm de lado e altura h, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume dessa caixinha é 288 cm³, pode-se concluir corretamente que o valor da sua área lateral, em centímetros quadrados, é

a) 192.

b) 170.

c) 154.

d) 128.

e) 96.

Solução:

A estratégia para obter a área lateral desse prisma é calcular primeiramente a medida de sua altura. Como foi dada a medida do volume, podemos usar a fórmula para o cálculo do volume de um prisma para descobrir essa medida que falta.

Para tanto, o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Sendo assim, a fórmula é:

V = Ab·h

A base desse prisma é um quadrado, portanto, sua área é dada pelo quadrado da medida do lado. Assim, Ab = 6² = 36. Substituindo esse valor e a área da base na expressão acima, teremos:

288 = 36·h

36·h = 288

h = 288
     36

h = 8 cm

A área lateral é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como são todas congruentes, basta calcular uma e multiplicar o resultado por 4:

A_l = 4·6·8 = 4·48 = 192 cm²

Gabarito: letra A.