Qual é o fatorial de zero?

Fatorial

O fatorial de um número é igual à multiplicação desse número pelos seus antecessores maiores que zero. Utilizamos o fatorial de um número em problemas de análise combinatória.

O fatorial de um número é a multiplicação desse número por todos os seus antecessores maiores que zero. Para representar o fatorial de um número, escrevemos o número seguido de um ponto de exclamação, ou seja, n! (lê-se “n fatorial”). Por exemplo, o fatorial do número 5 é 5!, que é a multiplicação de 5 pelos seus antecessores, ou seja, \(5⋅4⋅3⋅2⋅1\). No estudo da análise combinatória, é recorrente nos cálculos a multiplicação do número pelos seus antecessores. Sendo assim, o uso do fatorial é comum em questões de análise combinatória.

Resumo sobre fatorial

Calcular o fatorial de um número é multiplicá-lo pelos seus antecessores maiores que zero.
O fatorial de um número é representado pelo número seguido de um ponto de exclamação, ou seja, n!.
De modo geral, temos que:

\(n!=n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅…⋅3⋅2⋅1\)

O fatorial de um número é utilizado em problemas envolvendo análise combinatória.

O que é fatorial?

O fatorial é uma operação da matemática muito utilizada em situações envolvendo análise combinatória. Para representar o fatorial de um número, é utilizado o ponto de exclamação (!), como em n! (“n fatorial”).

Calculamos o fatorial somente de números naturais, ou seja, não existe o fatorial de um número decimal, de um número negativo ou de frações, por exemplo.

O fatorial de um número natural é a multiplicação de um número por seus antecessores maiores que 0. De forma geral, o fatorial de um número n é:

\(n!=n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅…⋅3⋅2⋅1\)

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Como calcular o fatorial?

Para calcular o fatorial de um número, calculamos o produto entre esse número e os seus antecessores. Veja os exemplos:

\(2! = 2 ⋅1 =2\)

\(3!=3⋅2 ⋅1 =6\)

\(4!= 4 ⋅3 ⋅2 ⋅1 =24\)

\(5! = 5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 ⋅1 =120\)

\(6! = 6 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 ⋅1 =720\)

Por definição, temos que:

0! = 1

1! = 1

Operações com fatorial

Para realizar adição, subtração e multiplicação entre o fatorial de dois ou mais números, primeiramente resolvemos o fatorial para depois realizar a operação. É importante compreender que o fatorial é uma operação que tem prioridade em relação às operações básicas. Já no caso da divisão, apesar de haver o mesmo princípio, é preciso entender e utilizar a simplificação fatorial. Veja a seguir exemplos relacionados à adição, à subtração e à multiplicação.

Exemplos:

Adição:

\(3! + 4!=3⋅2 ⋅1 + 4⋅3 ⋅2 ⋅1=6+24=30 \)

Subtração:

\(4! - 3! = 4⋅3 ⋅2 ⋅1 - 3⋅2 ⋅1 = 24 - 6 = 18\)

Multiplicação:

\(4!⋅3!=(4⋅3⋅2⋅1)⋅(3⋅2⋅1)=24⋅6=144\)

Importante: Não podemos somar ou subtrair os números antes de calcular o fatorial, pois caso isso seja feito, encontraremos resultados diferentes, pois 3! + 4! não é igual a 7!, assim como 4! ⋅ 3! não é igual a 12!, por exemplo.

Simplificação de fatorial

Quando temos uma divisão entre os fatoriais, é possível resolver utilizando a simplificação desses fatoriais. Vimos a adição, a subtração e a multiplicação, e a divisão não é diferente. Logo, não podemos simplesmente dividir os números e preservar o fatorial. Sendo assim, para calcular a divisão, realizamos a simplificação do fatorial.

Exemplo 1:

\(\frac{6!}{4!}\)

Resolução:

O primeiro passo é identificar o maior dos fatoriais, que no exemplo é o 6!, que está no numerador. Agora, podemos observar que o denominador vale 4!, então vamos reescrever o 6 como a multiplicação dos seus antecessores até 4!.

\(\frac{6⋅5⋅4!}{4!}\)

Como estamos multiplicando e dividindo por 4!, podemos simplificar a operação, restando:

\(\frac{6⋅5⋅\color{red}{4!}}{\color{red}{4!}} =6⋅5\)

Por fim, basta realizar a multiplicação:

\(6 ⋅5 =30\)

Exemplo 2:

\(\frac{3!}{7!}\)

Resolução:

Seguindo os mesmos passos, escreveremos a multiplicação de 7 pelos seus antecessores até chegar no 3:

\(\frac{3!}{7⋅6⋅5⋅4⋅3!}\)

Simplificando:

\(\frac{3!}{7⋅6⋅5⋅4⋅3!}=\frac{1}{840}\)

Fatorial e análise combinatória

O uso do fatorial é muito comum nos estudos da análise combinatória, pois para fazer a contagem das possibilidades de determinados agrupamentos, como a permutação, o arranjo e a combinação, estudados na análise combinatória, aparece com frequência a multiplicação de um número pelos seus antecessores.

O fatorial é uma forma mais simples de representar essa multiplicação e é essencial para o estudo da análise combinatória, pois a todo instante calculamos o fatorial de um número para fazer a contagem de agrupamentos.

→ Permutação

A permutação dos n elementos de um conjunto são os agrupamentos ordenados que podemos formar com todos os elementos desse conjunto. Para calcular a permutação desses n elementos, basta calcular o fatorial desse número.

\(P_n=n!\)

\(P_n=n!\) → quantidade de permutações.
n → quantidade de elementos.

Exemplo: Quantas senhas possíveis de 4 algarismos podemos fazer com os números 6, 7, 8 e 9 sem repetir um mesmo algarismo?

Resolução:

A quantidade de senhas com algarismos distintos possíveis nada mais é que a permutação de 4 elementos.

\(P_4=4!\)

\(P_4=4⋅3⋅2⋅1\)

\(P_4=24\)

→ Arranjo

O arranjo é outro agrupamento importante estudado na análise combinatória. Também utilizamos o fatorial para calcular a quantidade de arranjos possíveis para um determinado conjunto. Conhecemos como arranjo os agrupamentos ordenados que podemos formar com uma parte dos elementos de um conjunto. Por exemplo, em um conjunto com 5 elementos, formaremos agrupamentos ordenados de 3 elementos. Para calcular o arranjo, a fórmula utilizada é:

\(A_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}\)

\(A_{(n,k)} \) → arranjo de n elementos tomados de k em k.
n → total de elementos no conjunto.
k → total de elementos em cada agrupamento.

Exemplo:

Quantas senhas com algarismos distintos podemos fazer utilizando 4 entre os números 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Resolução:

Podemos perceber que há 7 algarismos possíveis. Desses 7, escolheremos 4. Então, calcularemos um arranjo de 7 elementos tomados de 4 em 4.

\(A_{(7,4)}=\frac{7!}{(7-4)!}\)

\(A_{(7,4)}=\frac{7!}{3!}\)

Realizando a simplificação:

\(A_{(7,4)}=\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3!}{3!}\)

\(A_{(7,4)}=7⋅6⋅5⋅4=840\)

→ Combinação

Conhecemos como combinação os subconjuntos de k elementos que podemos formar com os n elementos de um conjunto. Diferentemente do arranjo e da permutação, na combinação o conjunto não é ordenado, ou seja, os agrupamentos {A, B, C} e {B, A, C} representam a mesma combinação. Para calcular a quantidade de combinações, a fórmula é:

\(C_{n,k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)