Função crescente e decrescente

Funções são regras que ligam cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro conjunto. Quando se trata de conjuntos numéricos, essas funções assemelham-se a equações que relacionam os elementos de um conjunto a outro por meio de suas variáveis. Uma função é crescente quando, aumentando-se os valores atribuídos ao domínio, os valores do contradomínio ficam cada vez maiores; caso contrário, a função é decrescente.

Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:

Funções crescentes

Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:

Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade. Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função dada, percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro unidades.

Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por essa razão, a função é crescente. Além disso, apenas observando o gráfico dessa função, é possível perceber que ela é crescente, pois, quanto mais à direita, mais alta a reta fica.

Também é possível dizer que uma função é crescente quando, diminuindo-se os valores de x, os valores de y diminuem também.

Exemplo:

Mostre que a função y = 7x + 1 é crescente.

Se x = 0
y = 7x + 1 = 7·0 + 1 = 1

Se x = 1
y = 7x + 1 = 7·1 + 1 = 8

Como o valor de y aumenta quando aumentamos o valor de x, a função é crescente.

Observe que essa é uma função do primeiro grau, portanto, o seu gráfico é uma reta. Em uma mesma reta, é impossível haver intervalos crescentes e decrescentes. Se em um intervalo a reta for crescente, então, ela será em toda a sua extensão.

Dessa maneira, basta observar em dois valores de x que y aumenta para garantir que toda a reta seja crescente.

Função decrescente

Uma função decrescente é aquela em que o valor da variável y diminui sempre que a variável x aumenta. Um exemplo de função decrescente é a seguinte: y = – 3x + 3. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:

Observe que, cada vez que o valor de x aumenta uma unidade, o valor de y diminui três unidades. Dessa maneira, essa função é decrescente.

Além de observar os valores na tabela, também é possível definir se uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente a partir da análise do seu gráfico. Observe o gráfico decrescente da função acima:

Exemplo:

Mostre que a função y = – x é decrescente.

Para tanto, basta mostrar que, aumentando-se o valor de x, o valor de y diminui. Escolheremos, para isso, os valores x = 0 e x = 1. Observe:

Se x = 0,

y = – x = – 0 = 0

Se x = 1,

y = – x = – 1

Observe que, aumentando-se uma unidade no valor de x, o valor de y cai uma unidade; logo, a função é decrescente.

Como identificar funções crescentes e decrescentes sem cálculos

Existe uma maneira de dizer se uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente sem fazer qualquer cálculo. Para isso, basta observar o valor do coeficiente “a” da função. Esse coeficiente é proveniente da forma geral da função do primeiro grau:

y = ax + b

“a” é o número que multiplica a variável, e b é uma constante. A regra para identificar se funções do primeiro grau são crescentes ou não é a seguinte:

Se a > 0, a função é crescente;

Se a < 0, a função é decrescente.

Vamos determinar se as funções a seguir são crescentes ou decrescentes.

a) y = 2x

Crescente, pois a = 2 > 0.

b) y = – x

Decrescente, pois a = – 1 < 0.

c) y = – 4x + 7

Decrescente, pois a = – 4 < 0.

d) y = 4x – 7

Crescente, pois a = 4 > 0.

Quando uma função não é crescente nem decrescente, ou seja, quando a = 0, ela é uma função constante. Sempre que aumentamos ou diminuímos o valor de x, y permanece constante. O gráfico de um exemplo de função constante é o seguinte:

y = 2